Раздел: Документация
0 ... 58 59 60 61 62 63 64 ... 117 Таблица 12.2. Параметры для получения квадратичных последовательностей
последовательности приближаются последовательно к этим к числам. (Если вы начнете, скажем, с Xq = h, го последовательность в самом деле проделает цикл /г,... и обратно кКак и в ис- следовании В, говорят, что числа t\,... образуют притягивающий k-цикл.) Итак, вы смотрите на числа, образующие последовательность, и видите, располагаются ли они возле одного числа или же проходят в неизменном порядке возле некоторого набора чисел. (ii) Внесите изменения в М-файл cobq.m, необходимые для построения графика у = кх хде к - заданное вещественное число, и проите-рируйте эту функцию, вычерчивая, как и раньше, паутинообразную диаграмму. (Назовите полученный М-файл cobexp.m.) Это сводится к простой замене в М-файле cobq.m квадратичной функции на функцию у ~ к*. Обратите внимание, что для заданного значения к рассматриваемая здесь последовательность есть х. кх, к1 и т.д. Она называется экспоненциальной последовательностью. Не забудьте, что поскольку в этом М-файле х - это вектор значений, то мы должны писать к. "х Исследуйте последовательность, начинаюнгуюся, например, с Xq 0, на сходимость и выясните, если она сходится, то к какому пределу. Если это зависит от значения к, то попробуйте найти значения к, при которых поведение последовательности меняется. Приводим здесь некоторые значения для ввода в cobexp.m, с которых вы могли бы начать:
Как помощь при обдумывании того, что произошло между к = 1.4 и к = 1.5, рассмотрите место, где прямая у = х пересекает кривую у = Жг*.Покажите, что это как раз там, где к = х1хНабросайте график кривой у = х1/1. Подсказка: Используйте xlx= е1"3" покажите, что производная х1/* равна х11х{\- \п(х))/х2. Чему равно наибольшее значение, принимаемое этим у? (Ответьте на этот вопрос, используя для нахождения максимума у методы математического анализа.) Как это связано с поведением экспоненциальной последовательности? Неподвижные точки Неподвижной точкой функции / называется число х, такое, что f(x) = х. Рассмотрим функции f(x) = (ах + b)/(cx+ d), где с ф 0. и /(х) = Хх(1 - ж), где А > 0. Каковы их вещественные неподвижные точки (если такие имеются)? Пусть а - вещественная неподвижная точка. Она называется притягивающей, если /(а) < 1; отталкивающей, если f(a)\> 1; индифферентной, если ] /(а) = 1. Общая идея состоит в том, что если хо находится вблизи притягивающей неподвижной точки а, то итерации хпбудут притягиваться к а, т. е. Хп-¥ а при п -> оо. Подобным образом, если Хо находится вблизи отталкивающей неподвижной точки а, то уже х% будет находиться дальше от а. В случае индифферентной неподвижной точки может случиться что угодно. Ниже во всех примерах, кроме (vii), вы можете выбирать такое начальное значение xq, чтобы 0 < Xq < 1. (iii)В случае /(х) = Ах(1 - х) покажите (используя математический анализ, а не компьютер!), что единственными значениями А > 0, дающими индифферентные неподвижные точки, являются А = 1 и 3. Воспользуйтесь имеющимися М-файлами, чтобы узнать, что происходит с последовательностями хп в этих случаях. (iv)Покажите, что для /(ж) = (-За; - 2)/(4г + 3) обе неподвижные точки индифферентны. Воспользуйтесь имеющимися М-файлами, чтобы исследовать поведение последовательностей в этом случае. В общем случае покажите, что для /(ж) = (ах + Ь)/(сх A- d) обе неподвижные точки индифферентны, когда a +d ~ Ои ad-bc= - 1. (v)Исследуйте неподвижные точки и поведение функции f(x) = (7я-2)/(2х + 3). (vi)Найдите по одному примеру последовательности Мёбиуса (f(x) = (ax+b)/{cx+d))i квадратичной последовательности (/(ж) = Хх(1 - х)) с притягивающими неподвижными точками и определите с помощью имеющихся М-файлов, действительно ли эти точки являются пределами последовательностей. (В случае последовательности Мебиуса, вероятно, вам легче будет догадаться, чем мучительно искать положение притягивающей неподвижной точки.) (vii)Исследуйте индифферентные неподвижные точки функций Дх) = -х и Дх) =х2 + х. (В этом случае,, возможно, вы захотите взять Х{у вне отрезка 0 < х$ < 1.) 0 ... 58 59 60 61 62 63 64 ... 117
|