Раздел: Документация
0 ... 59 60 61 62 63 64 65 ... 117 Цель работы Здесь мы изучаем последовательности точек комплексной плоскости, пределами которых являются корни некоторых простых уравнений. Последовательности порождаются с помощью комплексного варианта хорошо известной формулы Ньютона-Рафсона. В частности, мы сравним случай квадратного уравнения с случаем кубического уравнения (большего различия быть не может!). Детальное обсуждение метода Ньютона-Рафсона для вещественных уравнений вы найдете в гл. 15. По фракталам имеется много полупопулярных книг, см., например, [14]. Используемые математические понятия Используются комплексные числа, включая решение квадратных уравнений с комплексными коэффициентами. Кроме того, используются некоторые кубические уравнения. Привлекается кое-что из планиметрии, например биссекторы. Используемые возможности MATLABa Эта работа использует возможности MATLABa для изображения точек и прямых на плоскости. Здесь точки будут представлять комплексные числа в обычных диаграммах Аргана1). Для вас написаны основные М-файлы, в которые надо будет внести изменения, чтобы использовать их в других примерах. 13.1. Введение Вы, наверное, встречались с методом Ньютона-Рафсона приближения корней уравнения f(x) = 0. Коротко говоря, в нем задается Имеется в виду обычная геометрическая интерпретация комплексных чисел х +гу точками (х, у) в декартовых координатах. - Прим. перев. Итерации Ньютона-Рафсона и фракталы некоторое начальное приближение Xq К корню и по нему вычисляются последующие приближения Х\,%ч, x-j,.... где Xk+i=xk-4rr?f\> к =0,1,2,....(13.1) В данной работе мы применим этот метод к решению некоторых комплексных уравнений1. 13.2. Уравнение z + 1 = О Как вы знаете, это уравнение имеет решения ±г. (Так как переменная комплексная, мы будем обозначать ее через z.) Для этого уравнения НР-формула (13.1) принимает вид 4 +1 4-1 + k 2zk2zk Пусть N(z) -тогда Zk+i = Лг(г*.). Выбрав начальное при- ближение для z (лучше отличное от 0), получим последовательные приближения для корня N(z),N2(zf N(N(z))tf3(z) = N(N2(z)) и т.д. Обратите внимание, что в этой работе мы должны проявить осторожность, различая итерации, т.е. повторное использование одной и той же функции, как это мы делали выше с N, и возведение в степень. Если мы хотим выписать, например, четвертую степень N(z), то, используя скобки и положение показателя степени 4, должны записать это как (N(z))A. Для начала немного теории. Вам нужно записать это, дополняя деталями. Мы хотим узнать, к какому корню сходятся числа Nk(z) при к -> ос (если они вообще сходятся). (i) Определим T(z.) как T(z.) =4 (это, конечно, связано с тем фактом, что корни уравнения z. + 1 = 0 суть г и -V). Проверьте подстановкой N(z) в Т, что T(N(z)) - {T(z))2\ повторное применение этого показывает, что T(N2(z))= (T{N(z)))2 = (T(z))\ Каков будет здесь общий результат? Какой степенью T(z.) будет T(Nk(z))XПодсказка: эта степень не равна 2к. Для начала попробуйте найти T(N3(z)).) В литературе он обычно называется методом Ньютона. Для кратных корней он требует модификации. - Прим. перев. (ii)Почему \T(z,)\ - 1 тогда и только тогда, когда z равноудалено от г и -г ? {Вспомните, что \z - а\ есть расстояние между комплексными числами z и а.) Пусть L- множество точек z„ обладающих этим свойством. Что представляет собой L? Нарисуйте его на диаграмме Аргана комплексных чисел. Из определения следует, что точки по одну сторону от L удовлетворяют условию JT(z) > 1, а точки по другую сторону удовлетворяют условию Т(г) < 1. Какая сторона соответствует каждому из условий? (iii)Предположим, что У(,г) < 1. Почему из этого следует, что (Г(г))г-> 0 при г Ч оо? (Подсказка: \(T(z))r= 1Г(г)г.)Выведите из сказанного, что при к -> оо мы имеем T(Nk(z)y+ 0. Почему отсюда следует, что Nk(z)-b i? Каков соответствующий результат в случае T(z} > 1 ? (Подсказка: Положите IjT(z) Г/(г),так что тогда С/(,г) < 1; затем примените те же аргументы (проверьте U{N(z))= (U(z,))2), принимая во внимание, что U~1(0) = -i.) (iv)Теперь рассмотрим две области на плоскости: R+ ={z:Nk(z"-rt г при fc ос}; Д ~{z:Nk(-4t -гпри к -> ос}. Нарисуйте диаграмму, изображающую эти области, линию L и корни ; И -г. Назовем R+ областью притяжения для корня +;, и, аналогично, /-называется областью притяжения для корня -г. Покажите, что если z, принадлежит линии L (общей границе двух областей R+ ий-), то Лггг(г))стается на L для всех значений к. (Это легко сделать, поскольку вы знаете, что представляет собой X.) Так что в этом случае итерации вообще не сходятся ни к какому корню1. 13.3. Общие квадратные уравнения (i) М-файл cnrl.m (enr означает complex Newton-Raphson - комплекс Ньютон-Рафсон) принимает любые два комплексных числа г) Здесь следует отметить достаточно тонкую ситуацию. Точка оо является неподвижной для преобразования Лг(г)дотя это не корень исходного уравнения /(г) = 0. Наfc-йитерации 2к~ конечных точек Zi из L попадут в оо {для к - 1 это г = 0, а для к > 1 это все те z„ для которых Nk1(z) = 0), и с ростом к они образуют в L всюду плотное множество. Из-за ошибок округления эта ситуация в вычислениях автоматически не реализуется, но для небольшого к приближенные значения всех Zi(k) можно при желании найти. - Прим. перев. 0 ... 59 60 61 62 63 64 65 ... 117
|
