Раздел: Документация
0 ... 60 61 62 63 64 65 66 ... 117 р, q и выдает квадратное уравнение z2 +az + 6=0,(13.2) имеющее эти числа своими корнями. Таким образом, как хорошо известно, о - р - q, Ъ = pq. В этом случае формула Ныотона-Рафсона (13.1) заменяет текущее приближение z на *Tt л z2 + az + b z2 - Ьпч ВД = z----= --.(13.3) Этот М-файл случайным образом выбирает точку z и соединяет ее последовательно с комплексными числами N(z),N2(z), N3(z).... пока они не подойдут очень близко к одному из корней р, q (помеченных на графике большими крестами, красным и зеленым). Таким образом полученная ломаная показывает, как метод постепенно строит приближения к корню уравнения. Чтобы выбрать другую случайную начальную точку, нажмите <Enter>. М-файл позволяет выбрать десять таких начальных точек. Попробуйте запустить М-файл и в качестве корней ввести i и -г. От вас требуется указать границы квадратной области диаграммы Аргана, выводимой на дисплей, а именно xl < х < xu,yl < у < уи, задавая последовательно xl, хи, yl (уи вычисляется автоматически). Посмотрите, какие итерации устремляются к Г, а какие к ~г; это должно согласовываться с приведенной теорией. Попробуйте запустить М-файл, взяв в качестве корней, например, 1 + 2г и 3 + 4г и область 0 < х < 5 , 0 <. у < 5. Есть ли у вас соображения о том, какие начальные точки приводят в 1 + 2г, а какие в 3 + 4г? Ой) М-файл cnr2.m выбирает случайным образом 500 начальных точек и рассчитывает, что произойдет с ними после итераций по формуле Ньютона-Рафсона для такого же квадратного уравнения z2+azr Ъ = 0 с корнямир, q. На графике корнир и q помечены соответственно красным и зеленым крестами. Те начальные точки, которые устремляются к первому корню (р). изображаются маленькими красными кружками, а те, которые устремляются ко второму корню (у), изображаются маленькими зелеными кружками. Выполните те же примеры, какие были в задаче (i), и несколько других. Выпишите значения р и q, которые вы использовали, а также границы х и у и сделайте набросок линии L, разделяющей две «области притяжения», для каждого примера, рассмотренного вами. (Область притяжения для р содержит все те начальные точки z„ которые порождают последовательности, сходящиеся к р.) Сможете ли вы догадаться, какой вид имеет линия L, которая разделяет две «области притяжения» в случае общего квадратного уравнения? Подтверждает ли это ваше предположение в задаче (i)? (iii) Руководствуясь следующими подсказками, найдите теоретически линию раздела областей притяжения для общего квадратного уравнения с разными корнями p,q. Пусть отображение Ньютона-Рафсона снова задано в виде (13.3) и пусть где, как и раньше, р и q являются корнями квадратного уравнения (13.2). Пусть L есть множество точек z, на плоскости, для которых Т(г) = 1,т.е. \z-p\ = \z-q\-Нарисуйте диаграмму, чтобы показать как L связано с р и q. Проверьте, что T(N(z,)) = (T(z))2, как и в § 13.2. Как и там, отсюда следует, что T(Nk(z))= равняется T(z) в какой-то (в какой?) степени. Дальнейшее доказательство распадается на два случая в зависимости от того, по какую сторону от L находится начальная точка z- Эти две стороны различаются неравенствами Т(г) < 1 и Г{г) > 1. Используя те же доводы, что и в § 13.2, покажите, что если Т(.г) < 1, то Г(ЛГ*(г)-> 0 при к -4 оо, и, следовательно, Nk(z]- р. Аналогично, если \T(z,)\ > 1, покажите (используя, например, U = 1/Т, как в §13.2), что Nk(z}-> q. Таким образом, L является разделяющей две области линией. Можете показать, что если z лежит па L, то все Лгакже лежат на L? Что произойдет, если/)- q? Сначала выполните спг1.гаиспг2.т для нескольких вариантов равных корней и понаблюдайте, что произойдет. Сформулируйте общий результат и докажите его. (Подсказка: Примените T{z) = z, - р) (iv) Возвращаясь к случаю р ф q, выясните, что произойдет, если мы возьмем наше начальное приближение z на разделяющей линии Ш Случай z1 + 1 =0 является типичным, и здесь, как вы должны уже понимать, L есть ось х\ В задаче (iv) из § 13.2 вы показали, что если z лежит на L, то там же будет и N(z): все итерации N(z), N2(z),N3(z),. .лежат на L. Проиллюстрируйте это, преобразовав cnrl ,тв спгЗ.ттак, чтобы было р = г, q = -г, границы изображения были в диапазонах -10 < х < 10, -10 < у < 10, а единственная случайная начальная 13.4. Кубическое уравнение z3 - г = 0 191 точка, z лежала на прямой L. Белые кружки должны быть помещены в эту точку и в каждую из 100 последовательно вычисленных точек командой plot(real(z),imag(z),wo) Вам также необходимо значения z (которые в этом примере теоретически должны быть вещественными, так как все они принадлежат L) сохранить в векторе xvalue. Вы сделаете это, задав исходное состояние xvalue= [] ; и затем после каждого вычисления z выполняя xvalue= [xvalue, real(z)]; После окончания вычислений выведите график этих значений как функции порядкового номера, выполнив plot([0:100].xvalue) D Распечатайте этот график. Не говорит ли это о том, что величины, полученные методом Ньютона-Рафсона, ни к чему не сходятся, если начальная точка лежит на L1 Дайте обоснование вашего ответа. 13.4. Кубическое уравнение z - z = 0 Теперь рассмотрим кубическое уравнение г3 - z = 0, которое имеет корни р = - 1, <7 = 0 и г = 1, Проверьте, что тогда формула Ньютона-Рафсона примет вид 2z3 N(z) = 3z2-l Мы хотим найти области притяжения, т. е. область плоскости R-i = {z : Nk{z}-+ -1 при к -> оо} и аналогично определенные Rq иЙьВы увидите, что это довольно сложная задача. (i) Измените cnr2.m так, чтобы его можно было применить в данном примере и чтобы он выводил на график кружки трех цветов: д)Достаточно без всякого накопления выполнить команду piot<reai(z)). По поводу сходимости итераций на L см. наше замечание в самом конце § 13.2. - Прим. перев. 0 ... 60 61 62 63 64 65 66 ... 117
|
