Раздел: Документация
0 ... 44 45 46 47 48 49 50 ... 82 производят нормирование по частоте: вводят вместо переменной со переменную а = ы(Ьл)~гп, так что (6 18) приобретает вид G(")la= . ,-,„ •(6-19) 1 + со Поскольку в точке со = 0 число производных АЧХ, равных нулю, максимальное возможное для фильтра данного порядка, то говорят, что фильтр Баттер-ворта имеет максимально плоскую (или максимально гладкую) амплитудно-частотную характеристику В фильтре Чебышева аппроксимирующая функция выбирается так, чтобы в полосе пропускания фильтра получить отклонение аппроксимирующей характеристики от идеальной, не превышающее некоторой заданной величины За пределами же полосы пропускания фильтр должен иметь возможно меньшее значение коэффициента передачи При таких исходных условиях наилучшей оказывается аппроксимация вида 10(10)1* =-(6-20) 1 + е2п(со) где е — некоторый постоянный коэффициент, определяющий неравномерность АЧХ фильтра в полосе пропускания, а Тп — полином Чебышева первого рода п-го порядка. Полиномы Чебышева определяются равенством [13] „ , ч ( — 2)" л! ,/-7—ji d" (лГ.-Гч2л-1 Г„ («)=-!—-L-у\- со2-— (yi-со2 ) . (2га) 1dco" Первые три полинома имеют вид Т0 = 1, Т\ = со, Т2 = 2ш2— 1. Последующие полиномы Чебышева могут быть найдены с помощью рекуррентного соотношения Тп (со) --= 2<иГп ! (со)-Гп 2(со). В полосе пропускания квадрат АЧХ G (со) 2 фильтра Чебышева колеблется между уровнями, равными 1 и 1/(14-е2), причем число таких колебаний («волн» на графике АЧХ) тем больше, чем выше порядок фильтра Поскольку амплитуда всех этих колебаний одинакова, то филыр Чебышева называют также фильтром равномертых пульсаций Р фильтре Бесселя наилучшая аппроксимация ищется не для амплитудно-частотной, а для фазо-частотной характеристики фильтра Для того чтобы фильтр не искажал формы сигнала, спектр которого лежит в полосе пропускания, требуется, чтобы запаздывание выходного сигнала относительно входного было одинаковым для всех гармоник Поскольку фазовый угол измеряется в долях периода рассматриваемой гармоники, то постоянство времени запаздывания равносильно пропорциональной зависимости (от частоты) угла сдвига фаз рыходного сигнала относительно входного сигнала фильтра Фильтр Бесселя обеспечивает такую аппроксимацию частотной характеристики, при которой достигается наилучшее приближение реальной фазо-частотной характеристики к идеальной линейной зависимости, соответствующей постоянному запаздыванию Кривая зависимости времени запаздывания от частоты для фильтра Бесселя является максимально плоской, т е имеет такой же характер, как кривая амплитудно-частотной характеристики для фильтра Баттер-ворта Сравнение амплитудно-частотных и переходных характеристик фильтров на примере ФНЧ третьего порядка позволяет провести рис 6-10 [39] Как видим из рис 6-10, а, АЧХ фильтра Чебышева (кривая 2) обеспечивает наиболее крутой спад характеристики за пределами полрсы пропускания при заданном отклонении АЧХ от номинального значения внутри этой полосы У фильтра Бесселя (кривая 3) этот спад наиболее пологий. Фильтр Баттерворта (кривая 1) занимает промежуточное положение. Различие фазо частотных характеристик фильтров этих трех разновидностей приводит к различию их переходных характеристик (рис 6 10, б). При скачке сигнала на входе фильтра lыхогное напряжение фильтра Бесселя устанавливается быстро и с небольшим всплеском (рис 6-10, б, кривая 3). Переходный процесс в фильтре Чебышева (кривая 2) сопровождается относительно медленно затухающими колебаниями около линии установившегося значения. Фи-льтр Баттерворта (кривая 1), как и раньше, занимает промежуточное положение Для реализации фильтров недостаточно знать выражения для их амплитудно-частотных или фазо-частотных характеристик Наиболее полную информацию в этом смысле несут передаточные характеристики фильтров Задача поиска передаточной функции, обесцвечивающей заданную амплитудно- или фазо-частотную характеристику, решается достаточно просто Не останавливаясь на этом вопросе, приведем табл 6-1, в которой таны значения Таблица 6-1
коэффициентов, входящих в передаточные функции фильтров нижних частот различных типов При этом передаточная функция фильтра второго порядка предполагается в виде Юл 0(Р) = —---(б-21) Р + «и0р + о>о Фильтр третьего порядка в табл 6-1 представлен в виде последовательно соединенных звеньев первого и второго порядков: g G (р) =-~--—-—.(6-22) Р + <% Р2 + аатр + со§2 Соответственно фильтры четвертого и пятого порядков в этой таблице также составлены из звеньев первого и второго порядков, причем для звена первого порядка в столбце « таблицы сделан прочерк Фильтр Чебышева в табл 6-1 представлен в шести вариантах, различающихся заданной неравномерностью АЧХ в полосе пропускания Неравномерностям 0,1, 0,2; 0,5; 1; 2 н 3 дБ соответствуют в процентной мере числа, примерно равные 1, 2, 5, 10, 20 и 30%. Численные значения коэффициентов рассчитаны, исх*одя из данных, приведенных в [19] (для фильтров Чебышева 0,1 и 0,2 дБ), и заимствованы из [43] (для остальных фильтров), где эти значения приведены с большим числом значащих цифр и для фильтров вплоть до десятого порядка. Получаемые исходя из таблицы передаточные функции перед их реализацией нужно денормировать: привести к виду, обеспечивающему получение нужной частоты среза Для этого в получаемые соотношения вида (6-21) и (6-22) и следует вместо переменной р подставить новую переменную py=kp, где k — некоторый постоянный множитель, изменяющий масштаб по оси частот частотной характеристики фильтра Приведенные в табл 6-1 данные соответствуют характеристикам фильтров, нормированных для фильтра Баттер-ворта так, чтобы получать квадрат АЧХ в виде правой части (6-19), т. е. чтобы затухание 3 дБ обеспечивалось для фильтров всех порядков при ш=1. Для фильтра Бесселя нормирование проведено исходя из условия получения задержки, равной 1 с при w = 0 Фильтры Чебышева нормированы исходя из условия получения полосы пропускания от w = 0 до w = l при отклонении АЧХ иа верхней границе этой полосы (ю=1) от номинального значения на величину, равную размаху пульсаций АЧХ внутри поло.сы пропускания Передаточные функции фильтров верхних частот (ФВЧ) и полосно-про-пускающих фильтров (ППФ) по своему виду могут отличаться от приведенной выше передаточной функции для ФНЧ (6-16) только тем, что в числителе функций для ФЧВ стоит произведение Нрп, а для ППФ — произведение Нрт, где т<п (зачастую /и» 0,5га) Для получения из передаточной функции ФНЧ передаточных функций ФВЧ и ППФ можно подставить в исходную Vfifi (Р + 1/Р) функцию ФНЧ вместо р соответственно выражения 1/р и ——---- где fi и [г — верхняя и нижняя граничные частоты полосы пропускания [19] Заканчивая рассмотрение аппроксимации характеристик фильтров, заметим, что наряду с упомянутыми тремя типами фильтров (Баттерворта, Чебы-шев*а и Бесселя) существуют и другие разновидности, занимающие по своим характеристикам промежуточные положения между рассмотренными [39] Реализация активных фильтров. Звено первого порядка может быть легко реализовано путем построения простейшей ffC-цепи с заданными параметрами. Что касается входящих в активные фильтры звеньев второго порядка, то они, как предало, не могут быть реализованы с использованием только пассивных элементов Существует большое число электронных Цепей, позволяющих реализовать звенья второго порядка с заданными передаточными функциями. В частности, находят применение подобные звенья, построенные на основе рассматриваемых в следующем параграфе преобразователей сопротивления, 0 ... 44 45 46 47 48 49 50 ... 82
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
