Раздел: Документация

0 ... 27 28 29 30 31 32 33 ... 36

Гипотеза о наличии линейной связи между явлениями считается подтверждённой, если вычисленные значения ранговых коэффициентов по Спирме-ну будут больше табличных при наибольшем числе измерений:

Число измерений..	10	20	24	30
Уровень существенности:
0,05............	0,564	0,377	0,343	0,306
0,01............	0,746	0,534	0,485	0,432

9.2.10. Определение связи зависимой и независимой

случайных переменных (регрессионный анализ)

В регрессионном анализе рассматриваются статистические зависимости между одной переменной, называемой зависимой переменной, и другой или несколькими, называемыми независимыми (объясняющими) переменными. Эта связь переменных выражается в виде определённой функции - уравнения регрессии зависимой переменной по независимым переменным, в которое входит также набор неизвестных параметров.

При этом возможны следующие варианты:

щадь. В том случае, когда объекты получают одинаковые ранги и делят при этом места, например 5,6,7,8, всем этим объектам присваивается средне арифметическое значение ранга 6,5.

Вычисления ранговых коэффициентов корреляции можно выполнить по формулам Спирмена или Кендалла. Более широкое использование нашла формула Спирмена:

ги = \—-

т -т

где т - число пар измерений в выборке, в частности совпадающей с числом районов на картах (например, ареалов лесов, почв и.т.п.), по которым определяются ранги.

функция линейна относительно постоянных параметров и независимых переменных;

функция линейна относительно постоянных параметров, но нелинейна относительно независимых переменных;

функция нелинейна относительно и параметров, и независимых переменных.

Статистическими задачами регрессионного анализа являются:

получение наилучших оценок неизвестных параметров регрессии Д;

проверка гипотез относительно этих параметров;

решение задач предсказания в пространстве и во времени.

Если устанавливается связь одной зависимой переменной от другой независимой, то получаем уравнение одномерной линейной регрессии, например, в виде:

Y=/30+fiX + v

где Д и Д - постоянные параметры; V- возмущающая переменная, характеризующая величину отклонения линии регрессии от истинных значений функции Y(X).

При наличии линейной связи одной зависимой и других независимых переменных можно записать уравнение множественной линейной регрессии:

Y= Д + ргХ2 + ръХг+...+РтХт + v

где Д постоянные параметры (< = 1,2,...,/и) оценку которых определяют по способу наименьших квадратов.

При наличии трех переменных уравнение линейной регрессии принимает вид:

Y= bl + Ь\х2+Ь3Х3,

где Ь\, £2, b\ - оценки теоретических значений параметров, которые можно определить по формулам

---

ss

bl = *I2 .3 = Г12 3 i fr3 = fc12.3 = Г13.2

I), = Y - b2 X2 - b3X3;

Г12~Г13Г23r - Г13 ~ Г12Г23

•2 = 8,Jl-r; S„ = Sl-r*;

823=82-r2\; Si2 = <53v1 -"32. (5j; <5>3 - стандарты, вычисляемые по формуле

1

Г, Х2,Х3- средние значения переменных; rtj — парные коэффициенты корреляции.

Уравнениям линейной регрессии, нелинейной относительно независимых переменных можно придать различный вид. Так при наличии двух переменных можно записать:

i=i

Когда имеется более двух переменных, получим

ттт

1=1

где Д»Д»Д»Д - теоретические значения коэффициентов регрессии, оценку которых также можно выполнить по способу наименьших квадратов.

Решение задачи оценки параметров нелинейной регрессии и по параметрам и по аргументам представляет определённые трудности.

Отметим что в настоящее время всё большее применение находит решение задачи определения оптимальных вариантов уравнений регрессии, назы-

ваемой пошаговой регрессией, на основе определения состава и вида независимых переменных, которые входят в рассматриваемые уравнения регрессии, путём выполнения процедур включения и исключения переменных (перебора переменных).

9.2.11. Выявление влияния изменений факторов иа средние результаты исследуемых явлений (дисперсионный анализ)

Дисперсионный анализ представляет собой статистический метод анализа результатов наблюдений, зависящих от различных одновременно действующих факторов, позволяющий установить в какой мере существенно влияние того или иного фактора или их комбинаций на рассматриваемый признак, оценить влияние тех или иных факторов или их групп на изменчивость средних значений изучаемого явления.

Различают одно-, двух-, трёх-, и многофакторный варианты дисперсионного анализа, в ходе которых проверяется действие одного или большего одновременно действующего числа факторов

Рассмотрим вариант дисперсионного анализа, когда проверяется действие одного фактора при одинаковом и р ном количестве измерений.

Пусть, например, имеем т приборов и каждым из них измерены одни и те же физические величины (длины, углы, площади, высоты и др.) л,,/,...,», раз. Необходимо выяснить, являются ли результаты наблюдений однородными, характеризующимися систематическими ошибками одного порядка, или имеются индивидуальные систематические ошибки, вызываемые особенностями используемых приборов (наблюдателей).

Для решения данной задачи дисперсия выборочной совокупности раскладывается на составляющие, обусловленные влиянием различных факторов.

Составляются вспомогательная и основная таблица. В первой помещают результаты наблюдений (измерений) и их средние значения. Во второй вычисляют дисперсию по факторам, остаточную и полную (общую) дисперсию и число степеней свободы для каждой из них. Поделив эти составляющие

---

дисперсии на соответствующие числа степеней свободы, получают средние значения квадратов дисперсии по факторам S2 и остаточном дисперсии S2 ,

а затем критерии

S2

При одинаковом количестве измерений указанные таблицы принимают

вид

Табл. 1

Прибор ные наблюд атели	Результаты наблюдений							среднеарифметическ ие значения
	1	2	3		J		n
1	х„	Х,2	Хи		Хи		Xn	X,
2	х2,	х22	Х23		x2j		x2„	x2
1	х,,	Ха	Ха		Xj		Xin	x,
m	Xm	Хп2	Хщз		Xmj		Xmn	x.

Табл. 2

Компонент ы дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Среднее значение квадрата	Вычисленный критерий
Дисперсия по факторам	«Z(--)2=G
Остаточная дисперсия	i=l y=l	к2 = т(п - l)	S>2=&

Полная (общая)	т п - i=i >=1	к = тп -1
дисперсия

Для случая, когда число наблюдений в сериях неодинаково, изменяются только формулы для вычисления суммы квадратов рассеяния Qx и Q2:

т

fl = Z".(*i-*)2;

где и, — число наблюдений в / - ой группе (в серии).

В случае, когда вычисленное значение меньше или равно табличному, т.е. F — таб. результаты наблюдений считаются однородными, индивидуальных систематических ошибок, вызванных влиянием рассматриваемого фактора (прибора, наблюдателя), нет, т.е. можно считать, что все измерения, выполненные на всех приборах (всеми наблюдателями) представляют собой выборку из одной и той же генеральной совокупности.

Аналогично решается задача для двух трёх и многофакторных вариантов дисперсионного анализа.

9.2.12. Определение ведущих факторов размещения и развития явления (компонентный, многофакторный анализы)

При решении многокомпонентных задач народного хозяйства, например, определении оптимального размещения производственно-территориальных комплексов, зон санаторно-курортного лечения и.т.п., приходится принимать во внимание многочисленные природные и социально-экономические факторы, одновременно влияющие на объект исследования.

Возникают большие трудности в отображении множества разнообразных показателей на картах, принятии с их использованием достаточно обоснованных решений.

0 ... 27 28 29 30 31 32 33 ... 36