Раздел: Документация

0 ... 28 29 30 31 32 33 34 ... 36

Отсюда появляется необходимость сжатия информации, выявления из многочисленных, порой противоречивых, показателей, характеристик, разных по своей значимости и важности, ведущих, а так же выполнения при необходимости районирования отображаемых территорий и объектов и создания соответствующих синтетических карт.

Эффективному решению этих задач способствует использование многомерного анализа, в частности компонентного и многофакторного, а так же латентно-структурного анализа и метода канонической корреляции. Рассмотрим основные положения компонентного анализа.

Имеем исходную корреляционную матрицу R, в которой дисперсии по столбцам имеют величины, которые изменяются в произвольном порядке. Задача заключается в том, чтобы путём ортогонального преобразования исходной матрицы R перейти к новой системе координат — от исходных переменных х1,х2,...,хп к искомым главным компонентам z,,z2,...,zn. В преобразованной при этом матрице дисперсии по столбцам по своей величине должны расположиться в убывающем порядке. В этом случае наибольшую долю общей (суммарной) дисперсии выбирает первая главная компонента, затем вторая и.т.д., а первые несколько компонент выберут главную часть общей дисперсии. Представляется возможным вместо всех компонент использовать для дальнейшей обработки только эти первые компоненты.

Основная формула компонентного анализа может быть представлена в виде

л р=1

где xp,zr- соответственно р— я исходная переменная и г - я компонента; Wpr - вес р— й переменной в г- й компоненте (компонентные нагрузки).

Задача получения значений главных компонент по исходным переменным и наоборот сводится к определению компонентных нагрузок. Она решается

на основе использования понятий о собственных значениях и собственных векторах.

Известно, что ненулевой вектор хфО называется собственным вектором матрицы R, если в результате соответствующего линейного преобразования этот вектор переходит в коллинеарный ему, т.е. отличается от исходного только скалярным множителем

Rx-Лх

Здесь Я - называется собственным значением или характеристическим числом матрицы R, соответствующим данному собственному вектору х.

Из полученного выражения можно записать уравнение в матричной форме

(R-AE)x = 0.

Развёртывая определитель (Я-ЛЕ)=0, получаем характеристический полином, различные корни уравнения которого являются собственными значениями Я, матрицы R.

Представим этот полином в виде det(A£ - R) = Я" + Р1Х1+...+Рп

и используя корреляционную матрицу R, вычислим вспомогательные матрицы

R2 = RR; Л3 = /г2Д;.... RC = RC,R, где с = 2, 3, ... п

Находим суммы диагональных элементов: 5, - по матрице R, S2 - по матрице R2,... Sc - по матрице Rc.

Получаем коэффициенты характеристического полинома

---

Находим приближенные собственные значения Я, =-/{ >; Я2=-Р2/Р1; K=~PJP

Записывает производную от характеристического полинома и методом итераций находим точные величины собственных значений по способу Ньютона.

1-1 F()

Получив собственные значения Яу подставляем последовательно их величины в полученное выше уравнение (стр. 189), из его решения находим собственные вектора, соответствующие используемым в этих уравнениях собственным значениям. Теперь компонентные нагрузки Wj для каждого j-го столбца равны произведению j-тых собственных векторов на корень квадратный из j собственных значений. В преобразованной матрице дисперсии по столбцам будут располагаться в убывающем порядке, первые две - три главные компоненты выберут основную часть общей дисперсии, что позволяет выполнить вычисления исходных переменных только по значениям трёх, двух или только одной компоненты т.е. осуществляется сжатие информации, выделение ведущих факторов.

Это дает возможность, используя вычисленные значения главных компонент, составить отдельно по каждой из них или сразу по нескольким компонентам карты соответствующих синтетических характеристик, наглядно характеризующих результаты компонентного анализа и обеспечивающие решение по ним разнообразных научных и практических задач.

Основное предложение многофакторного анализа выражается уравнением

к

xp=Y, £pffr +ер; (р=1,2,3,.... и),

где хр, /г - соответственно р — ая исходная переменная и г — й фактор; ( рг— нагрузка г - ого фактора на р - ю переменную; п, к - числа соответственно исходных переменных и факторов (к <и); ер— остатки.

В данном методе решают задачу преобразования исходной корреляционной матрицы R, имеющей пхк элементов (к < и), в матрицу факторных нагрузок с пхк элементами. При этом полагают, что наблюдаемые переменные хр

подчиняются многомерному нормальному закону распределения случайных величин.

Факторные нагрузки определяют решения матричного уравнения R=LL+V,

где L, L - матрица факторных нагрузок и ее транспонированная матрица.

Однако решение этого уравнения не является однозначным и данный метод менее эффективен по сравнению с методом компонентного анализа.

При создании карт с использованием одного из двух указанных методов синтетические характеристики отображаются на них способом изолиний, реже применяется способ картограмм.

9.2.13. Методы теории аппроксимации.

Сущность аппроксимации состоит в замене аналитических функций, вид которых неизвестен, приближенными зависимостями, обеспечивающими наилучшее приближение.

К числу основных задач, решаемых с использованием таких функций относятся:

преобразования картографических изображений (проекции), дискретных способов отображений в непрерывные, локальных систем координат в системы картографических проекций;

описание физических и статических поверхностей, выделение фоновой (трендовой) и остаточной поверхностей;

---

Гармонические полиномы

или

«j

z = Z-W« + v*i,

4=0

где по рекуррентным формулам В.П Морозова.

ъ = ft".-. -73 вк = & + ш ,.

Мультиквадратичные полиномы

z=ao+i4\(z-6Y+{"-ъ)г+<*kf2 +v.

Полиномы типа Ньютона

г = Яо+1*.П[(£-б) + (7->7.)]. »=i *=i

Полиномы томографического соответствия

v. a,x + a2y + ai b + b + b, ,

~--; (сз можно принять равным 1)

с,х + с2у + с3с,х + сгу + с3v

Полиномы аффинного соответствия У = Ь0+Ь£+Ьгп,

определяемые при наличии не менее 3-х опорных точек, не лежащих на одной прямой.

Двойные ряды Фурье зэк 9чг

Наиболее часто используются следующие из них. Степенные алгебраические полиномы

с, с,

интерполяция и экстраполяция пространственно-временных закономерностей;

действия связанные со сложением, вычитанием, логарифмированием, дифференцированием, интегрированием поверхностей, с их использованием для определения картометрических и морфометрических характеристик и др.

В качестве аппроксимирующих функций могут применяться различные полиномы одного, двух и более аргументов, дающих приближение в пределах всего отрезка данной линии или всей площади данного участка; кусочные функции, дающие приближение в пределах данного отрезка или участка и их границ, а также точечные полиномы или соответствующие им функции.

При изучении вероятностной (стохастической) составляющей модели реальных процессов решение рассматриваемых вопросов весьма близка к задаче исследования и использования случайных функций в теории предсказания.

Из интерполяционных и аппроксимирующих функций одного аргумента применяются интерполяционные формулы Лагранжа, Стефенсена, тригонометрические полиномы, интерполяционные формулы с центральными разностями, итерационно-интерполяционный метод Эйткена и др., степенные полиномы, ряды, членами в которых являются функции ортогональных систем (тригонометрической, систем функций Бесселя, Радемакера, Уолша, системы собственных функций задачи Штурма-Лиувилля) и особенно ортогональные полиномы Лежандра, Чебышева, Якоби, обобщающие два предыдущих вида полиномов (многочлены Лагерра и Эрмита), тригонометрический ряд Фурье и др.

К аппроксимирующим полиномам двух аргументов относятся: алгебраические, гармонические, мультиквадратичные полиномы, полиномы Ньютона, томографического и аффинного соответствия, ортогональные системы двух переменных, двойные ряды Фурье, сплайн-функции и другие.

0 ... 28 29 30 31 32 33 34 ... 36