Раздел: Документация
0 ... 7 8 9 10 11 12 13 ... 119 1.14. Закон двойственности для логических схем Логические схемы могут быть как комбинационными, так и последовательностными, реализующими неоднозначную связь между значениями входных и выходных сигналов. Каждую конкретную ЛС можно реализовать в любом из рассмотренных выше базисов ЛЭ. Оказывается, что если ЛС спроектирована в базисе И-НЕ, то ее легко можно перевести, не производя заново синтеза, на ЛЭ ИЛИ-НЕ. На основании закона двойственности для любого ЛЭ можно использовать одно из двух условных графических обозначений, показанных на рис. 1.18,а,5. Например, двухвходовой ЛЭ И-НЕ выполняет функцию f(v) = x2x~i. Тогда по закону двойственности f(i>) = х~2 V т.е. ЛЭ И-НЕ можно определить через одну из двух основных операций алгебры логики - конъюнкцию или дизъюнкцию и операцию отрицания (инверсию). В первом случае инвертор указывается на выходе ЛЭ, во втором - на обоих его входах. °> И-НЕ ИЛИ-НЕИИЛИНЕ Повторитель  s:> И-НЕ ИЛИ-НЕИИЛИНЕ Повторитель  Рис. 1.18 Часто в одной и той же схеме радиоэлектронного устройства используют оба обозначения ЛЭ. Это связано с тем, что уровни всех сигналов устройства принято делить на активные и неактивные. Активный уровень сигнала (0 или 1) - это уровень, при котором сигнал производит воздействие на узлы схемы. Проходя через инверторы, сигнал изменяет свой активный уровень. Для указания активных уровней сигналов им присваивают мнемонические (символические) имена, которые по требованию ЕСКД [12] составляются из латинских букв, входящих в английские слова, описывающие назначение сигнала. Например, сигналы WR ( Write) и RD (Read), как следует из их символических имен, предназначены для управления записью и чтением. Если в какой-либо точке схемы их активный уровень высокий (логическая 1), то они в этой точке обозначаются через WR и RD, а если активный уровень низкий (логический 0), то через йй и RD. Предположим, что на какой-то узел схемы воздействие должен производить высокий уровень и того и другого сигнала, а их активные уровни низкие. Положив х2 - WR и ц = RD, можно записать: f(v) = х2 V xi = WR v RD, т. е. на узел воздействует дизъюнкция сигналов с высоким результирующим уровнем. Этим объясняется использование второго графического обозначения ЛЭ И-НЕ, при котором в явном виде указывается операция ИЛИ, производящаяся над сигналами. Таким образом, выбор одного из двух графических обозначений ЛЭ диктуется желанием облегчить чтение сложных принципиальных схем, так как в этом случае подчеркивается конкретное назначение ЛЭ, используемых для построения устройства. Подразделение уровней сигналов на активные и неактивные облегчает проектирование схем устройств эвристическим методом. Для этого нужно лишь понимать, что ЛЭ И выполняет операцию конъюнкции для высоких уровней сигналов и операцию дизъюнкции для низких уровней (ЛЭ ИЛИ выполняет эти же операции, но для противоположных значений уровней). При составлении схем многих узлов устройства часто достаточно учета только этого правила в сочетании с удачными символическими именами сигналов для исключения грубых ошибок при проектировании. Некоторые сигналы в-принципе нельзя классифицировать по признаку активного и неактивного уровней. Такими сигналами являются, например, сигналы на шине данных микропроцессорных систем. Уровни этих сигналов одинаково значимы, так как определяют информацию, передаваемую между узлами системы. Понятие активного уровня сигналов используется обычно только для сигналов управления передачей данных и состоянием микропроцессорной системы.  Рис. 1.19 Пусть КС выполняет функцию f(v) = х3х2 Ух3Х\. Тогда по закону двойственности МНФ функции в базисе И-НЕ (рис. 1.19,а) и ее инверсии в базисе ИЛИ-НЕ (рис. 1.19,6) будут иметь вид: /(у) = х3хг, f(v) = (г3 V х2)(хз V х,) = г3 V х2 V х3 V I]. 5 Пухальский Г И., Новосельцева Т я Из рис. 1.19 следует, что при замене ЛЭ И-НЕ на ЛЭ ИЛИ-НЕ необходимо все входные и выходные сигналы заменить на инверсные. Рассмотренный пример иллюстрирует закон двойственности для двухъярусных КС. Данный закон справедлив и для более сложных логических схем (многоярусных КС и ЛС с обратными связями, которые в большинстве случаев не являются комбинационными). Действительно, ЛЭ И-НЕ, имеющий т входов, выполняет функцию f\(xm,.. .,xi) = хт • -z2xi, а ЛЭ ИЛИ-НЕ - функцию /2(zm,...,xi) = Хт V . . . V Х2 V Х\ = Хт -X2Xi = fx(xm,...,xx). Из этого следует, что для преобразования любой ЛС, выполненной на ЛЭ И-НЕ, в схему, реализованную на ЛЭ ИЛИ-НЕ, достаточно все ЛЭ И-НЕ заменить на ЛЭ ИЛИ-НЕ, а все входные и выходные сигналы исходной схемы заменить их инверсиями. На рис. 1.19,в показана ЛС с обратными связями, которая является комбинационной схемой. Функциональная связь между входными и выходными сигналами в обеих схемах одинакова. Принцип двойственности справедлив также и для последовательностных схем (автоматов). 1.15. Линейные функции В настоящее время наибольшие успехи в развитии теории передачи информации (кодирование сообщений с обнаружением и исправлением ошибок) [13] и теории дискретных сигналов [14, 15] достигнуты благодаря использованию методов абстрактных разделов современной алгебры. Особую роль в технической реализации разработанных методов кодирования и декодирования сообщений, а также генерирования и синтеза сложных сигналов играют линейные автоматы [16], для построения которых достаточно использовать синхронные элементы задержки (D-триггеры) и КС, реализующие линейные функции. Функция f(xn,..., хх) называется линейной [8], если она удовлетворяет принципу суперпозиции f(anxn,...,a2x2,a1x1) = ап f(xn, 0,0,..., 0,0) + ...+ +а2 -/(0,0,0,..., х2,0) + а1 -/(0,0,0,..., 0, хг), ( 1 пг>\ где ар - константы; р = 1,..., га; ар G F\ хр £ F; F -- некоторое поле. Полем F называется множество элементов F - {а, Ь, с,..., }, для которых определены две операции, называемые сложением ( + ) и умножением (х, •), и выполняются аксиомы: а + b е F, a b € F - замкнутость; а + (Ь + с) = (а + Ъ) + с, а • (Ь • с) = (а Ь) с - ассоциативные законы; о + Ь = Ь + а, а b = b • а - коммутативные законы; a-(b + c) = a- b + a- c - дистрибутивный закон; 0 + а = а + 0 = а, 1 • а = а • 1 = я - существование единичных элементов относительно операций сложения и умножения (для операции сложения единичный элемент называется нулем, а для операции умножения - единицей); каждый элемент а поля F обладает противоположным элементом (-а) относительно операции сложения и обратным элементом (а~1) относительно операции умножения (за исключением нулевого элемента): а + (-а) = 0, а-а~х = 1. На основании этих аксиом можно доказать, что каждый элемент поля имеет единственный противоположный и единственный обратный элементы, а также, что 0 • а = о • 0 = 0. Наиболее известными примерами полей являются множество рациональных и множество действительных чисел, для которых операция "+" означает арифметическое сложение чисел, а операция "х" - арифметическое умножение. Однако операции "+" и "х" могут иметь и совершенно иной смысл, так как для определения поля имеет значение только выполнение всех вышеперечисленных аксиом. В теории цифровых автоматов могут быть использованы только конечные поля, т. е. поля, множество элементов которых конечно. Широкое применение в теории и практике проектирования цифровых устройств находят поля Галуа GF(q), в которых в качестве бинарных операций "+" и "х" используются операции сложения и умножения целых чисел по модулю q, где q - простое число [13, 16]. Такие поля содержат q элементов: 0,1,2,..., q - 1. Напомним, что число X по модулю q равно остатку от деления данного числа на д. Правила сложения и умножения по модулю q - 2 определяются табл. 1.7, из которой видно, что операция "+" совпадает с логической операцией сумма по модулю два (ф), а операция "х" - с логической операцией конъюнкция (&). Это и является основой для использования алгебраических методов при проектировании линейных цифровых автоматов, КС которых описываются линейными функциями fj = оо Ф а\х\ ф а2х2 ф ... ф апхп, где ар = 0 или 1, р - 0,1,..., га. Данные функции удовлетворяют Таблица 1.7. СложениеТаблица 1.8. Сложение и умножениеи умножение по модулю 2по модулю 3
Таблица 1.9. Сложение и умножение по модулю 5
определению линейных функций (1.90), если положить а0 = х0 и /(х0,0,0,...,0) = а0. Правила сложения и умножения по модулю q = 3 и q = 5 приведены в табл. 1.8 и 1.9. По этим таблицам легко убедиться, что все аксиомы, входящие в определение поля, удовлетворяются. Согласно определению (1.90), линейными функциями являются функции f(xn, ...,хг) = апхп + ... + oiX! + о0,(1.91) где Op е GF(q) и переменные хр принимают значения из поля GF(q),p = 0,1,2,..., п. Комбинационные схемы, выполняющие операции сложения и умножения по модулю q, называются линейными. При значении q = 2 проблема синтеза линейных КС отсутствует, так как ЛЭ И и сумма по модулю два выпускаются в виде ИС. При значениях q > 2 необходимо синтезировать типовые линейные КС, выполняющие операции сложения д-ичных чисел и умножения их на константы ар по модулю q. Данная задача решена в § 6.15. Глава 2 Анализ и синтез логических схем 2.1. Потенциальные и импульсные сигналы Сигнал называется потенциальным, если интервал времени Т, между соседними изменениями сигнала значительно больше времени реакции схемы гр, в которой он используется, т.е. сигнал x(t) (рис. 2.1) потенциальный, если mm{Ti,T2,T3,...} > тр. Сигнал называется импульсным, если длительность его активного уровня того же порядка, что и время реакции схемы (схема должна отреагировать на воздействие импульсного сигнала, а он должен закончиться сразу же после окончания в схеме переходного процесса). При аналитическом описании схем, на которые воздействуют импульсные сигналы, используется понятие абстрактного импульсного сигнала, дли- - тельность которого беско- * -\ I ! ! ! !- , нечно мала. Реальные импульсные сигналы всегда имеют конечную длитель- dx j I-j-1-i- ность, которая определяет- d j j j j ся временем реакции схе- , ! ; j . мы. В зависимости от бы- 7*-I-1----- стродействия ЛЭ, из которых построена схема, вре-ис- 2-1 мя реакции может изменяться в широких пределах. Понятие абстрактного импульсного сигнала позволяет абстрагироваться от физических параметров конкретных схем. Импульсные сигналы порождаются изменениями потенциальных сигналов с 1 на 0 и (или) с 0 на 1. Для описания изменений потенциальных сигналов и порождаемых ими импульсных сигналов удобно использовать мате- 12 IЭ ! 4 I 5 0 ... 7 8 9 10 11 12 13 ... 119
|
