Раздел: Документация
0 ... 8 9 10 11 12 13 14 ... 119 матический аппарат, основанный на операторах переходов d и V [10]. Импульсные сигналы dx, dx и Vx с высоким активным уровнем, порождаемые изменениями потенциального сигнала х с 1 на 0 и с 0 на 1, показаны на рис. 2.1. Оператор переходов d определяется соотношением dx(t) = xjt) • x(t - At),(2.1) где dx(t) - импульсный сигнал, порождаемый изменениями потенциального сигнала с 1 на 0; x(t) - значение потенциального сигнала в данный момент времени; x(t - At) - значение потенциального сигнала в предыдущий момент времени. Очевидно, что dx = 1 только при изменении потенциального сигнала с 1 на 0. Считается, что абстрактный потенциальный сигнал имеет бесконечно крутые фронты, а для абстрактного импульсного сигнала в соотношении (2.1) At -» 0. Введя обозначения сигналов x(t) = х, x(t - At) = х*, получим: dx = x-x*.(2.2) Соотношение (2.2) учитывает время в явном виде и может использоваться не только для потенциальных сигналов, но и для переключательных функций от потенциальных сигналов: «*/(") = W) /» = W) ДО,(2-3) где и = (хп,... ,xi), f* = (<,... ,Xj), /(f) - значение функции в данный момент времени, /"(f) - значение функции в предыдущий момент времени. Из соотношения (2.3) следует, что импульсные сигналы, порождаемые переключательными функциями от потенциальных сигналов, весьма просто могут быть получены с помощью основных операций алгебры логики. Так, если /(f) = х, то dx = x-x*,(2.4) где dx = 1 только при изменении потенциального сигнала х с 0 на 1. Имеет место тождество dx • dx = 0, которое отражает тот факт, что потенциальный сигнал не может одновременно изменяться с1на0ис0на1 (доказательство: dx-dx = х-х*х-х* = 0). Следует всегда иметь в виду, что с точки зрения алгебры логики сигналы х и х* являются разными переменными, но поскольку их значения совпадают со значениями одного и того же сигнала, взятыми в различные моменты времени, то операторные соотношения учитывают время в явном виде. Оператор переходов V определяется соотношением Vx = dx V dx - х 9 х",(2.5) где Vx = 1 при изменении потенциального сигнала х как с 1 на 0, так и с 0 на 1. Легко доказать следующие основные операторные тождества: d(x2 • х\) = х2 • dxi V x\ • dx2, d(x2 V xi) = x~2 • dx\ V xi • dx2, > (2.6) V(x29xx) = Vx29 Vxx. Докажем, например, первое тождество: d(x2-xx) = х2 x1-(x2-xl)* = (х2 Vx-Xj-Xj = х • dxx V х\ dx2. Тождества (2.6) поясняются временными диаграммами, изображенными на рис. 2.2.  vCx2®x,) III I Рис. 2.2 Оператор переходов d от мультиплексной функции дает d{y\~x V у2х) -х • х * • dr/j V х • х* • dty2 V уг • у2 • dx Vy2- у\* dx. В § 1.4 было показано, что для обычных тождеств алгебры логики справедлив принцип двойственности, устанавливающий правило, На основании которого для любого тождества можно получить двойственное ему тождество. В [22] доказана теорема, утверждающая, что и для операторных тождеств справедлив некоторый принцип, позволяющий разбить их на пары: если справедливо операторное тождество Vp.-(","*)«fc("/v,&) = yvf.oovv.fc), «j то имеет место также операторное тождество V Vi(f *, V)dfi(u/k, V) = V *i(V* • V)dwV), где tpi, fi, il>j, Wj - некоторые переключательные функции п и 2п переменных. Такие тождества будем называть сопряженными. Функции <Pi и входящие во второе операторное тождество, получаются из функций <pi и входящих в первое операторное тождество, заменой v на V*, а и* на V, т. е. заменой переменных хр на х* (хр на х*), а переменных х* на хр (х* на хр). Функции же fi и Wj, входящие во второе тождество, получаются из функций /, и Wj, входящих в первое тождество, взаимной заменой операций дизъюнкции (V) и конъюнкции (fc). Такое преобразование тождеств допустимо в силу того, что взаимная замена V на V* эквивалентна изменению направления отсчета времени. Используя определение оператора перехода (2.3), не представляет труда доказать следующие операторные тождества: xdx = О,xdx - О, xdx = dx,xdx = dx, x2d(x1x2) = 0,x2d(x2 V xi) = 0, d(x2xi) = x2dx\ V x\dx2,d(x2 V Xi) = x2dxx \lx\dx2, x*2d(x2x1) = d(xjxi),~x2d(x2 V *i) = d(x2 V ii), x2d(x2 V xi) = xirfx2,x2rf(x2Xi) = x\dx2, x 2d(x2 V xi) = x2x2dxi,x2d(x2Xi) - x2x2dxx, x2x*d(x2 V xi) = x2i"id(x2Xi) = dx2dx\. Все тождества, за исключением последнего, записаны парами и могут быть получены одно из другого на основании приведенной теоремы. Последнее тождество является самосопряженным, так как оно по теореме не изменяется. Рассмотренные тождества наиболее часто используются для упрощения выражений, содержащих операторы переходов. Для преобразования операторных выражений могут быть полезны следующие тождества: d(dx) - 0, dlx = dx, Vx = Vx, V(Vx) = Vx. При проектировании логических схем можно использовать и импульсные сигналы с низким активным уровнем dx, dx и Vx (инверсные импульсные сигналы). Операторные выражения, описывающие импульсные сигналы, могут быть применены для проектирования логических схем, формирующих такие сигналы. На рис. 2.3,а показана схема генератора импульсного сигнала dx, построенная в соответствии с (2.1), а на рис. 2.3,6- временные диаграммы, поясняющие ее работу (для простоты положили, что ЛЭ безынерционны). Инверсный импульсный сигнал dx может быть получен с помощью ЛЭ НЕ. Генераторы импульсных сигналов называются разностными элементами. На рис. 2.3,« представлена схема удвоения частоты, выполненная в соответствии с (2.5), а на рис. 2.3,г- временные диа- „F-u J » I--1 v* dx Si dx Л. та
« ri Ji j-t ri Рис. 2.3 граммы, поясняющие ее работу. Вместо асинхронных потенциальных элементов задержки на время At можно использовать некоторое число последовательно включенных ЛЭ, обеспечивающих заданную задержку. Впервые операторы переходов были введены в работе [17]. Математический аппарат для синтеза и анализа цифровых схем, основанный на операторах переходов, разработан в [Ю]. 2.2. Модели логических элементов Любой реальный ЛЭ не мгновенно реагирует на изменения входных сигналов, поэтому имеется некоторая паразитная задержка между моментом времени, в который на его входы поступают новые значения сигналов, и моментом времени, когда выходной сигнал принимает значение, определяемое функцией, которую выполняет ЛЭ. Эта функция представляет собой статическую модель ЛЭ, так как она не учитывает поведение ЛЭ при изменении входных сигналов. Аналогично этому функция f(y) или система функций fq{v) (1-84), описывающая работу КС без обратных связей, является ее статической моделью. Для исследования переходных процессов, вызываемых в ЛС изменениями входных сигналов, необходимо ввести динамические модели ЛЭ, учитывающие паразитные задержки. Тогда динамическая модель ЛС будет определяться динамической моделью ЛЭ и статической моделью ЛС. Так, динамическая модель КС без обратных связей будет определяться формой представления функций fq(v), задающей структурную схему (число ЛЭ и все связи между ними), и динамической моделью ЛЭ. Самая общая динамическая модель ЛЭ И-НЕ, имеющего два входа, представлена на рис. 2.4,а. Эта модель состоит из  Рис. 2.4 безынерционного ЛЭ И-НЕ (статическая часть модели) и паразитных элементов задержки г, (г = 1,2,3). Величины задержек т\ и т2 зависят от длины проводников, соединяющих выводы ЛЭ с источниками сигналов, от длительности фронтов входных сигналов х\ i/i х2, от порогов срабатывания ЛЭ по входам х\ и х2, а величина гз определяется инерционностью той части ЛЭ И-НЕ, через которую проходит сигнал, описываемый функцией Х2 -х\. В общем случае точные значения величин г, неизвестны, так как они зависят от многих факторов и с течением времени могут изменяться. Кроме того, значения величин г, могут быть различными при переходах сигналов х\, х2 и а с 0 на 1 и с 1 на 0. Рассмотренная модель является наиболее сложной и пригодна для описания любого ЛЭ (И, ИЛИ, ИЛИ-НЕ), если использовать в ней соответствующую статическую модель. Будем говорить, что входные сигналы ЛЭ не изменяются одновременно, если на интервале Дг = \т\ - т2\ изменяется только один сигнал х\ или х2, и что входные сигналы ЛЭ изменяются одновременно, если на интервале Дг изменяются оба сигнала х\ и х2, так как истинное соотношение величин задержек тх и Гг неизвестно. Если сигналы Х\ и х2 никогда одновременно не изменяются (хотя бы в противоположных направлениях), то модель ЛЭ И-НЕ может быть приведена к виду, показанному на рис. 2.4,5, где т - элемент задержки с переменной величиной задержки т = тх + т3 или г = т2 + г3 в зависимости от того, каким сигналом хр вызывается изменение выходного сигнала а. Поэтому данную модель назовем динамической моделью с переменной задержкой. Из рис. 2.4,5следует, что a(t) = x2(t - т) • xx(t - г), a(t + г) = x2(t) • xx(r) = а+. Обозначив сигналы xp(t) = хр и a(t) = а, получим: ~.+ --- \ / -/О 7\ ci - J-2 • J-i - j-2 v xj,(i.j ) где а - значение выходного сигнала ЛЭ в данный момент времени, а+ - следующее его значение, которое появится через время г после изменения входных сигналов хр. Модель с переменной задержкой можно представить в несколько ином виде (рис. 2.4,в), положив, что элемент задержки  Рис. 2.5 т в момент изменения сигнала хр подключается к тому входу, на который этот сигнал подается, а на другом входе элемент задержки в этом случае отсутствует. Данную модель будем называть динамической моделью с виртуальной задержкой. Логический элемент находится в устойчивом состоянии, если сигналы до элемента задержки и после него совпадают, т.е., если а+ = а. Если же а+ ф а, то ЛЭ находится в неустойчивом состоянии, так как в этом случае его выходной сигнал должен измениться через время, не большее т. На рис. 2.5,а показана КС, составленная из ЛЭ И и ИЛИ на основании их динамических моделей. Для ЛЭ И использована модель с переменной задержкой, аналогичная показанной на рис. 2.4,6, а для ЛЭ ИЛИ - общая модель, аналогичная показанной на рис. 2.4,а (на рис. 2.5,а паразитные задержки на выходах ЛЭ И объединены с паразитными задержками на входах ЛЭ ИЛИ, т.е. задержки Т\ и т2 являются суммой двух задержек). Как видно из рис. 2.5,а, КС выполняет функцию f(v) - Xz-X\\/Xz - х2, которая является ее статической моделью. Пусть х\ = х2 = 1 и изменяется только один сигнал х$. Тогда функция /(f) = хз V хз = 1, т. е. из статической модели КС следует, что ее выходной сигнал а3 не должен изменяться при изменении входного сигнала х3. Наличие же паразитных задержек т\ и т2 разной величины приводит к появлению на выходе КС ложных значений выходного сигнала а3 = 0 малой длительности (рис. 2.5,6). Так как истинное соотношение величин задержек т; и т2 неизвестно, то нельзя предугадать, в каком месте появится ложное значение выходного сигнала а3 = 0 (при изменении входного сигнала хз с 0 на 1 или с 1 на 0). Динамические модели ЛЭ и предназначены для формализации исследования поведения ЛС при переходных процессах, вызываемых в них изменениями входных сигналов. При изменении выходных сигналов двух или большего числа 0 ... 8 9 10 11 12 13 14 ... 119
|
