Раздел: Документация
0 ... 52 53 54 55 56 57 58 ... 117 Трение (необязательное добавление) Интересно было бы сделать приведенные выше соображения более «реалистичными», введя трение. Это удивительно легко сделать, так как нужно только заменить формулу (11.9) немного более сложной формулой где р, - коэффициент (кинетического) трения. Это означает, что на бусинку действуют сила тяжести, направленная вниз, направленное по нормали противодействие проволоки и трение, которое есть произведение этого противодействия на и. Уравнение для v следует тогда из второго закона Ньютона (можете не проверять его, если не хотите!). В результате формула (11.10)(i) для времени передвижения примет вид Измените slidel .ти slidelfп.ттак, чтобы можно было найти параболу наискорейшего спуска для и = 0.3. Назовите эти М-файлы slide6.mH slide6fn,m. Учтите, что взяв значения ц, несколько большие 0.5, вы можете получить «бесконечное» время передвижения вдоль некоторых парабол. Почему это так? v = л/2д(с - у - цх),  В этой главе рассматриваются последовательности вещественных чисел, и начнем мы с введения специальных классов последовательностей. Далее приводятся три исследования по изучению их свойств. В первом (А) рассказывается о свойствах последовательностей Мёбиуса, описанных ниже, тогда как второе (В) целиком посвящено квадратичным последовательностям. В третьем из них (С) большей частью рассматриваются квадратичные и экспоненциальные последовательности, но там снова упоминаются и последовательности Мёбиуса. В каждом исследовании отметьте, какая часть предварительного материала (§§ 12.1-12.3) в нем требуется. 12.1. Последовательности Мёбиуса Рассмотрим последовательности вида ахп+ Ъ хп+1 - -п = О, l,%1s,... , схп+ а где а, Ъ, с. d -вещественные числа. Как только вещественное xq задано, вся последовательность становится определенной и состоит из вещественных чисел. Она называется последовательностью Мёбиуса. В вашем распоряжении имеются два М-файла. Первый из них mobius . m требует ввода чисел а, Ь, с, d, Xq и числа итераций, подлежащих выполнению, т.е. указания числа членов, которые необходимо вычислить. Полученные значения выводятся в виде столбцовой диаграммы. Второй М-файл mobiusl .m выводит значения последовательных Xi в виде вектора-столбца, используя «format long» для большей информативности. (i) (a,b,c,d)= (1, 2,1,1), xq = 3. Из mobius .m и mobiusl .m (после 20 итераций) хорошо видно, что последовательность сходится. Предел выглядит подозрительно знакомым. Выполнение вычислений с Последовательности вещественных чисел другими значениями Хо дает тот же результат. Обратите внимание, что некоторые значения xq приводят к бесконечным значениям, как, например, xq = -1.5. (В этом случае Х2 =оо.) Однако здесь это не является серьезной проблемой, поскольку формула говорит, что если хп -= со, то хп+\ должно равняться просто а/с. В действительности М-файлы учитывают это и правильно продолжают вычисления после появления бесконечных значений. (На практике это чаще всего очень большие значения, положительные или отрицательные.) М-файл rnobins.rn воспроизведен в конце этого раздела, чтобы показать вам, как преодолевается проблема «бесконечности». (ii)(а, Ь, с, rf) (1,1,-2,1), жо = 3. Выполнение 500 итераций с помощью mobius.m не выявляет наличие предела. Выполнение 20 итераций с помощью гаоЫш1.ьтюпределенно показывает, что числа скачут очень сильно. Такая последовательность называется «сильно расходящейся», «осциллирующей» или «хаотичной». (iii)(а, Ь, с, d) =- (1,1, - 1,1), xq ~ 3. Это дает повторяющийся цикл из четырех значений 3, -2, -, ,наблюдаемый с помощью любого из двух М-файлов. Такая последовательность называется периодической с периодом четыре. Ясно, что здесь возможны различные типы поведения. Если /, то и xn+i -> I, такчтодлядвух последних примеров будем иметь соответственно ( + 11 В обоих случаях получается противоречие (вспомните, что у нас только вещественные числа). Поэтому ни одна из этих двух последовательностей не может иметь единственный предел /, но типы расходимости у них различны. Заметьте, что кажущаяся сильно расходящейся последовательность на самом деле может быть периодической с очень большим периодом, и это может быть связано с неточностью вычислений. Нет простого ответа на это - и мы не будем искать его здесь! Будучи примененным к первому примеру, приведенный здесь метод показывает, что если та последовательность имеет предел. то этот предел должен равняться ±i/?- Не так просто, но все-таки 0 ... 52 53 54 55 56 57 58 ... 117
|
