Раздел: Документация
0 ... 54 55 56 57 58 59 60 ... 117 12.3. Функции Мёбиуса и степени матриц Пусть 4 ( а Ь \ т аХп + ~\ с d ) "" ~ CXn + d Очевидно, имеется тесная связь между матрицей А и последовательностью Мёбиуса. Приведем один из многих способов выражения этой связи. Теорема 1. (i) Имеется вещественное число а (зависящее от п) такое, что Другими словами, , ( хп \ ( wi \ т если Л , =: то хп-н - -• (ii) Для любого целого к > 1 существует вещественное число 0 (зависящее от к) такое, что Другими словами, f если А" 1 = . то х&~- Пример 1 Пусть ( 1 2 А = 1 1 )j Хо = 1 Тогда для v = (3,1)т получим Av - (5, 4)т, и а в утверждении (i) теоремы 1 равно 4, а х\ = . Положив к = 4 в (ii), имеем Aiv- (75,53)ти х4 = = 1.4151; значение 0 есть 53. Пример 2 Если вы наберете format long A=[l 2; 11]; v=[2 1]; w=lT2Q*v; wCl)/w(2) fomat dxrte то получите ответ 1.41421356237310, что совпадает с тем, когда вы наберете sqrt(2). Согласно (и) теоремы 1, это число есть Х2о,если х0 = 2. Теорема 1 доказывается непосредственно: для доказательства (i) надо выполнить умножения с обеих сторон и положить а-- cxn+d. Теперь (ii) доказывается индукцией по к. Случай к - 1 есть просто (i)с п = 0. Полагая (ii) верным при к, будем иметь А**1 ( ) = АР ( х* ) = ЗА ( ? ) = /За ( ) В первом равенстве использовано индуктивное предположение, во втором использован тот факт, что /3 есть просто число, а в третьем использовано (i) с заменой п на к. Это завершает доказательство (ii)по индукции. • Если Ак- скалярная матрица, т. е. матрица вида XI, где I - единичная 2 х 2-матрица, то так что = Хо согласно утверждению (ii) теоремы 1, т.е. значения последовательности Мёбиуса снова возвращаются к xq. Таким образом, периодические последовательности могут быть выявлены вычислением степеней соответствующих матриц. Мы можем также двигаться «назад»: например, найдем начальное значение XQ, которое для последовательности Зхп + 5 Х„+ 2 дает Хв = -2. Заметим, что если хо выбрано таким образом, то следующий член x-j будет «бесконечным», поскольку тогда знаменатель Хе +2 обратится в нуль. Мы хотим, чтобы *(?)=,(-*) дтанексахрого/3. Это дает ± ( М -4Г*(( "2 = (( -22658 V в V 1 •}V- 1 / V 12649 / причем вы можете проверить последнее равенство, набрав А" (-6)* [-2 1] после предварительного ввода матрицы (Конечно, вы догадываетесь, что -22658 в действительности есть нечто вроде -22657.999!) Таким образом, Хо = -22658/12649 = - 1.7913. Если вы воспользуетесь mobiusl .m, чтобы найти для этой последовательности (введя предварительно Xq В виде приведенной выше дроби), то обнаружите, что получилось очень большое число. Тем не менее для х$ будет выдано правильное значение 3. Имеется весьма примечательный результат о направлении вектора w - А*упри больших значениях к. Возвращаясь к матрице Л из приведенного выше примера 2, наберите Вы обнаружите, что один из собственных векторов А параллелен вектору w, полученному в примере 2. Например, вы можете ввести xl=X(:,1) y=xl-/и чтобы выделить первый собственный вектор А, а затем сравнить его с w по направлению. Обе компоненты вектора у должны быть приблизительно одинаковыми. Заметьте, что использованный нами собственный вектор соответствует наибольшему собственному значению матрицы .4. Что касается матриц, мы можем легко перейти к случаю 3x3, но заметьте, что на языке последовательностей очевидных аналогий этому нет. Рассмотрите А=[1 2 3;-1 2 -3;1 -2 -3] и (почти) любой начальный вектор v. Эта матрица имеет один вещественный собственный вектор (-0.5433,0.2849,0.7897), что вы можете обнаружить, набрав [X,D] = eig(A). Он имеет то же направление, что и А"уцля больших значений п. Замечание о двух М-файлах Может так случиться, что степени матрицы А имеют элементы, которые действительно становятся очень большими, и вычисление вектора А"удля больших п может быть рискованным. В вашем распоряжении имеются два М-файла, которые преодолевают эту проблему в том случае, когда нам надо знать лишь направление вектора Л "v. Они вычисляют Av, A2v,A3v,..., но после каждого  ГХ D]=eig(A) 0 ... 54 55 56 57 58 59 60 ... 117
|
