Раздел: Документация
0 ... 57 58 59 60 61 62 63 ... 117 (iv)Покажите, что (12.2) для р = 3 имеет вид Л7 -8Аб + 16А5 + 16А1 -64А7 + 128 = 0. Задайте его коэффициенты как вектор v (начиная с коэффициента 1 при старшем члене) и найдите корпи этого полинома с помощью команды roots (v). Не принимайте во внимание отрицательные вещественные корни и комплексные корни. Один корень должен быть равен 2; проверьте, что для этого А справедливо /() - h- Для другого корня примените cobq.m. чтобы проверить, что действительно имеется притягивающий 3-цикл, и выпишите числа, входящие в него (вы должны получать один и те же числа, с какого бы Хо из (0,1) вы не начали). (v)Для р = 4 имеется решение вблизи А = 3.5. Найдите это решение с несколько большим числом десятичных цифр, используя quadn.m, и используйте его в cobq.m, чтобы найти числа из получающегося притягивающего 4-цикла. (vi)Покажите, что график у = f(x) пересекает у = х, когда х = 0 или х = 1 -.Докажите, что для 0 < А < 1 график у f(x) находится целиком ниже прямой у = х при 0 < х < 1. Объясните с помощью нарисованной от руки паутинообразной диаграммы, почему кажется очень правдоподобным, что для любого хц при 0 < Хо < 1 полученная квадратичная последовательность сходится к 0. Для 1 < А < 2 покажите, что при 0 < х < 1 график у f(x) пересекает прямую у = х только один раз, а именно когда х = 1 - \. Вычислите наклон графика у = f(x) в этой точке и покажите, что он положительный. Снова с помощью нарисованной от руки паутинообразной диаграммы объясните, почему это делает правдоподобным сходимость полученной последовательности для 0 < х0 < 1. Чему равен предел на этот раз? Подтвердите ваше утверждение с помощью примеров, используя нужные М-файлы. (vii)М-файл perdoub.m (от «period doubling* - «удвоение периодов»!) берет 100 значений А между заданными вами пределами II и 12. Для каждого из них вычисляются числаЭд,.., хюо {с Xq = ) и только члены, начиная с 75-го, изображаются на вертикальной прямой над значением А. Таким образом, изображение имеет оси А,х, где П < А < 12 и 0 < х< 1. На рис. 12.2 показан график для 1 < А < 4. Попробуйте выполнить его для (10, 12 =2. Как полученный график подтверждает сказанное выше в (vi)?
О1....................- 11-1-•-1 й0.511.522.5ЭЭ.54 Рис. 12.2. Диаграмма, «удвоения периода». Для каждого значения Л на горизонтальной оси точки, расположенные выше нее, есть значения х из получающегося притягивающего цикла. Так, для А после 3.5 образуются все более и более длинные притягивающие циклы. Попробуйте выполнить его для Л = 2, 12 -=-3.5. Что вы наблюдаете? (viii) (Необязательное дополнение.) Между Л -3.9 и Л - 4 имеется еще несколько притягивающих циклов. Найдите некоторые из них, используя этот М-файл самым выгодным для вас образом. (При этом нужно работать достаточно систематически.) С. Квадратичные и экспоненциальные последовательности; неподвижные точки Цель работы II эта работа посвящена последовательностям, их пределам и их притягивающим циклам - множествам чисел, к которым приближаются члены последовательности. Мы изучим два типа последовательностей: квадратичные (как выше в работе В) и экспоненциальные, например х, 2, 2*-2 и т. д. (Экспоненциальные последовательности детально обсуждаются в [2].) В частности, мы будем изучать «неподвижные точки» последовательностей и свяжем их со сходимостью. В данном исследовании есть кое-что и о последовательностях Мёбиуса (их определение см. в § 12.1). Может быть, вы захотите заглянуть в § 12.2, где описаны «паутинообразные диаграммы». Используемые математические понятия Основное математическое понятие - это понятие последовательности вещественных чисел. Теоретическая часть исследования включает математический анализ и преобразования функций. Используемые возможности MATLABa Используются предварительно написанные М-файлы. Вам потребуется изменить М-файл. который строит паутинообразные диаграммы квадратичных последовательностей так. чтобы он мог работать и с «экспоненциальными последовательностями». Паутины квадратичных последовательностей Общее обсуждение паутинообразных диаграмм вы найдете в § 12.2. М-файл cobq.m строит паутинообразную диаграмму для последовательности где Л - заданное вещественное число, которое мы выбираем > О, т.е. используемая нами функция есть у = f(x) = Ат(1 - х). Попробуйте, например, взять Л = 3.9221934.,х/ = 0, хи 1, yl = О, у и = 1, хО =- 0.5. (Как обычно, xl обозначает нижний предел изменения х, через хи обозначен верхний предел, a yl, уи - нижний и верхний пределы изменения у.) Сделайте 20 итераций. Вы получите 7-цикл значений - так называемый сверхпритягивающиИ-пикл. Квадратичные и экспоненциальные последовательности. (i) Примените М-файл cobq.m к вариантам данных, представленным в табл. 12.2. После того как паутинообразная диаграмма построена, а значения Х{ выданы, один взгляд на них может подтвердить ваш вывод из вида диаграммы о типе последовательности (сходящаяся/ периодическая/ хаотичная). В таблице 12.2 приведены значения входных параметров; п - число итераций. В каждом случае установите тип поведения рассматриваемой вами последовательности; в случае сходимости укажите предел, а в случае периодической последовательности приведите длину периода и значения х, образующие период. Обратите внимание, что здесь «сходящейся» называется последовательность, члены которой приближаются к единственному предельному значению. С другой стороны, «периодической» с периодом к называется последовательность, для которой существуют к чисел li... Ak и значения 0 ... 57 58 59 60 61 62 63 ... 117
|
