Раздел: Документация
0 ... 56 57 58 59 60 61 62 ... 117 Теория последовательностей Мёбиуса Здесь мы познакомим вас с некоторыми элементами теории этих последовательностей. Проиллюстрируйте их подходящими примерами, используя имеющиеся М-файлы. (vii)Пусть f(x) - (ах + b)/(cx + d), где с ф О и ad - Ьс ф 0. Неподвижными точками функции / называются числа х такие, что f(x) ---.т. Покажите, что если (а - d)2 + 46с > 0, то существуют две вещественные неподвижные точки, скажем, а и 0. (viii)Вспоминая, что xn+]~~- f(xn)f(a) = a, f(0) = /?, покажите, что Подсказка: Сначала покажите, используя равенство о ™-(аа + Ь)/ (са + d), что и выпишите такую же формулу для хп+\- /3. Теперь выведите повторным применением формулы (12.1) для п - \п - 2,..., что (ix)Покажите, что /(а) -(с/3 + d)/(ca + d), a f{(i) = {са + d)/ {cj3+ d). Подсказка: Легко проверить, что f(x) = (ad - bc)/(cx+d)2. Вспоминая, что а и Дявляются корнями уравнения сх2- (а - d)x - h = 0, выведите, что (са + d)(cO + d) = ad - be. (x)Выведите, что если j f(a)\< 1, тоа при n oo. (xi)Покажите, что если (a - d)2 +4bc < 0, то неподвижные точки - невещественные. Почему отсюда следует, что последовательность {хп}не имеет предела? В. Притягивающие циклы Цель работы Эта работа посвящена последовательностям, образованным итерированием квадратичной (степени 2) функции. Эти последовательности обычно не имеют единственного предела, а имеют «несколько хп+1 - а  (12.1) (ad - bc)(xn- а) (схп + d) (са + а1)  пределов» в том смысле, что последовательные значения последовательности близко подходят к совокупности различных чисел. Мы рассмотрим эти «притягивающие циклы» и математически, и экспериментально. Больше подробностей относительно использованной здесь математики можно найти в [2]1). Чтобы выполнить данную работу, не нужно читать материал о последовательностях Мёбиуса. Используемые математические понятия Мы используем последовательности вещественных чисел, заданных квадратичной формулой. В вычислениях применяются некоторые преобразования полиномов и точечных изображений кривых, необходимых в расчетах. Используемые возможности MATLABa В работе применяются предварительно написанные М-файлы для анализа квадратичных последовательностей, а также численное нахождение корней полиномов. Мы не будем особенно углубляться в теорию притягивающих циклов; цель нашего исследования - это построить несколько примеров. Введем f(x)=- Ах(1 - х) и хf(xn),n-~~- 0,1,2,... , чтобы определить квадратичную последовательность xq,xi,X2, . • • Как только А задано, эта последовательность определяется первым членом Хо- Обозначим через fp преобразование, осуществляющее р итераций функции/, т. е. }2{х) = f{f{x)),f{xff(f{f(x))) и т.д. Тогда хр = /р(о)Для данного значения р. мы, в частности, хотим найти значение А, такое, что  (12.2) Это нам нужно для получения следующего результата: если А имеет такое значение, что выполняется (12.2), то для некоторого q, являющегося делителемр, числа \, Р{\), i = 1,... ,q - 1 образуют «притягивающий д-цикл». Это означает, что если вы начнете с x.q из интервала (0,1) и будете итерировать посредством /, то значения fk(xo),k - 1,2,3,... , будут последовательно располагаться вблизи этих q чисел. 1} Здесь следует назвать и работу: M.J. Feigenbaum. Universal behavior in nonlinear systems. - Los Alamos Science, 1980, v.l, JV* 1, pp. 4-27, давшую толчок многим последующим исследованиям по данному вопросу. Ее русский перевод опубликован в УФН, 1983, т. 141, вып. 2, с. 343-374. - Прим. перев. (i)Для р - 2 покажите, что f2(x) - А2.т(1 - х)(1 - \х + Аз;2),а затем покажите, что уравнение (12.2) принимает вид А3 - 4А2 +8 = 0. Задайте его коэффициенты как вектор v (начиная со старшего члена) и воспользуйтесь roots (v), чтобы найти корни этого полинома. Отбросьте отрицательный корень. Один положительный корень равен 2; для этого корня проверьте, что действительно /(£) = ту. Для другого корня примените cobq.m чтобы подтвердить, что. начиная с произвольного о, значения последовательности приближаются к двум числам. Выпишите эти числа, какими получили их из М-файла. (ii)М-файл quadn. га строит график любой итерации / (для любого заданного А) и на нем же проводит зеленым цветом прямые х - и У- . Он позволит вам менять значения А без изменения других параметров. На экране появляется инструкция. Обратите внимание, что, после того как график нарисован, вам нужно нажать <Enter>, чтобы передать управление командному окну MATLABa. Затем вам будет предложено нажать 0, чтобы завершить работу, или 1, чтобы выбрать другое А. Используя точку (,), можно получить очень точное значение А, для которого выполняется уравнение (12.2). (Уточняйте А, пока график / не пройдет через точку пересечения зеленых прямых.) Примените это к третьей итерации /3 и найдите значение А, близкое к 3.83, которое удовлетворяет уравнению (12.2). Вы должны быть способны получить по крайней мере еще пару десятичных цифр, разумно используя М-файл. После того как вы найдете А, воспользуйтесь cobq.m, чтобы проверить, что для различных х$ последовательность приближается к «притягивающему 3-циклу», как было и в (i). Выпишите числа, входящие в этот 3-цикл. Для каждого xq, которое вы использовали, установите, как много итераций потребуется, чтобы последовательность приблизилась к этим числам с точностью до четырех десятичных знаков. (iii)Для р - 6 уравнение (12.2) имеет решение вблизи 3.63. Найдите это решение как можно точнее, используя quadn.m, и примените cobq.m, чтобы найти набор из шести чисел («притягивающий 6-цикл»), к которому приближается последовательность. При р - 16 имеется решение, близкое к А -- 3.55. Дает ли это притягивающий 16-цикл? Разберите подробно это (конечно, используя эти М-файлы). 0 ... 56 57 58 59 60 61 62 ... 117
|
