Раздел: Документация
0 ... 55 56 57 58 59 60 61 ... 117 шага нужно заново провести масштабирование, чтобы ответ был единичным вектором. Они называются mat it 2 .т для 2 х 2-матриц и matit3.m,zum 3 х 3-матриц. В обоих случаях требуется предварительный ввод матрицы v. Рассмотрите их, если вы любознательны. Следующая теорема предназначена для тех, кто интересуется теорией. Теорема 2. Если векторы Апуимеют предельное направление, то этот предел должен быть собственным вектором матрицы А. Доказательство. Если по предположению .4"v/A"v -4 w для некоторого w ф О при п -4- оо, то A(A"v/A™v) -4 Aw, так что -.--> .4w- Дп+1у pnv Но здесь при п оо первая дробь стремится к w, а вторая к некоторому вещественному числу а, так что в пределе получается равенство Aw = aw, означающее, что w есть собственный вектор матрицы А. Конечно, это не доказывает, что Апуимеет предельное направление, совпадающее с направлением одного из собственных векторов матрицы, а только то, что собственные векторы являются единственно возможными предельными направлениями. • А. Исследование последовательностей Мёбиуса Цель работы Мы исследуем последовательности Мёбиуса и теоретически, и экспериментально. Но сначала вам нужно вспомнить §§ 12.1-12.3. Используемые математические понятия К их числу относятся матрицы, последовательности, математическая индукция и пределы последовательностей, а также основы дифференциального исчисления в теоретической части работы. Но сначала вам нужно прочесть §§ 12.1-12.3 . Используемые возможности MATLABa Потребуются только предварительно написанные М-файлы, используемые здесь для итеративного вычисления, нахождения степеней матриц и построения паутинообразных диаграмм. Функции Мёбиуса и матрицы (i) Для значений а, Ь, с, d, приведенных в табл. 12.1, выясните, используя М-файлы mobius.m и/или mobiusi.m , сходятся или рас- Таблица 12.1. Значения для построения последовательности Мёбиуса а Ь с d 2 3 3 1 2 2 3 у/5 Уз -2 4 -2 3 2 1 1 Уз ходятся соответствующие последовательности Мёбиуса, а в последнем случае выясните, возникает ли «хаотичная расходимость» или же периодичность (периодическое повторение значений). Выпишите ваши результаты, заданные вами исходные значения Xq и число сделанных итераций. Воспользуйтесь также М-файлом cobm.m для вычерчивания паутинообразных диаграмм. Для перехода к следующей итерации пользуйтесь клавишей <Enter>. Сделайте грубый набросок диаграмм на бумаге для тех случаев, когда вы установили, что последовательность является сходящейся или периодической, указывая при этом ваши области значений х и у вместе с начальными значениями Xq . Замечание: При задании входных параметров воспользуйтесь выражением sqrt(3) -тогда MATLAB подставит численное значение в программу. (ii) Возьмите те же примеры, что в предыдущем упражнении, связывая параметры (а, Ь, с, d) с матрицей Воспользуйтесь матричным умножением MATLABa, чтобы проверить, что для периодической последовательности некоторая п-я степень матрицы (п равно длине периода) будет скалярной матрицей, т.е. матрицей вида где / - единичная 2 х 2-матрица. Выпишите значения А в каждом случае. Проверьте также, что для (а,Ь, с, <i) = (1,1,-1,1), четвер-    тая степень матрицы является скалярной матрицей, и выпишите значение А. (Hi) Какова связь между последней матрицей А. для которой А4 - А/, и тем, что соответствующая последовательность Мёбиуса является периодической с периодом 4 (см. § 12.3)? (iv)Для какого примера из упражнения (i) М-файл matit2.na-ет предельное направление последовательности степеней A"v? Отметьте компоненты вектора v, которое вы использовали, и полученное предельное направление. Проверьте путем вычислений, что это собственный вектор матрицы А. Найдите оба собственных вектора в этих случаях. (v)Для (a,b,c,d) = (1,2,1,1), найдите обращение соответствующей матрицы (например, воспользуйтесь командой inv(A)). Отсюда найдите (точно) начальное значение Хо, ДЛЯ которого х§. = оо. Есть ли возможность найти такое Xq, ЧТО х - оо? (vi)Эта часть не имеет никакого отношения к последовательностям Мёбиуса, но касается степеней 3 х 3-матриц. Сравните с § 12.3. Рассмотрим популяцию жуков из трех видов: черных, красных и зелёных. В момент t - 0 имеется 10 черных жуков, но нет ни красных, ни зеленых. В момент t = 1, одновременно происходят три следующих события: (a)каждый черный жук делится на черного, двух красных и зеленого; (b)каждый красный жук делится на черного и двух зеленых; (c)каждый зеленый жук делится на трех красных. То же происходит и в моменты t - 2,t - 3 и т.д. В этой задаче жуки бессмертны (это, конечно, чистая математика). Как можно с помощью матричных итераций для больших значений t определить в популяции процент черных, красных и зеленых жуков? Влияет ли на результат исходная популяция (на момент t = 0)? Связано ли это с одним из собственных векторов матрицы? Подсказка: Рассмотрите матриц} 0 ... 55 56 57 58 59 60 61 ... 117
|
