Раздел: Документация
0 ... 35 36 37 38 39 40 41 ... 177 □augment(A,B,...}. где А. В — некоторые матрицы. Функция эта служит для слияния матриц слева направо. Естественно, соединяемые матрицы должны иметь одинаковое количество строк. □stack(A,B,...). Функция отвечает за слияние матриц сверху вниз. В случае ее использования матрицы должны иметь равное число столбцов. Пример 3.41. Слияние матриц <:) (2 2\ N:= U г) augment (Л, N) (\ 1 2 2Л Л 1 1 2 2) stack(A,N) = (\ I 2 \1 \\ 1 1 2) 3.3.5. Функции вычисления матричных норм Одной иэ важнейших характеристик матрицы является ее норма. Понятие это очень широко используется во многих задачах линейной алгебры (например, при нахождении чисел обусловленности матриц или при оценке сходимости итерационных методов при решении больших систем линейных алгебраических уравнений). Нестрого говоря, прежде всего, норма матрицы отражает средний порядок величины матричных элементов. Так, например, норма вектора - это не что иное, как его длина. В линейной алгебре существует довольно значительное количество различных алгоритмов вычисления нормы. Если векторное пространство ограничено, то все они дают приблизительно одинаковый результат — как правило, различие не выходит за пределы одного порядка. А так как матричные нормы есть величины оценочные, то нет разницы, которую из них использовать. В Mathcad существуют четыре функции, которые отвечают за вычисление матричных норм. □nontil(H) — норма вычисляется в пространстве I т (о том, что это такое, можно прочитать в любой математической энциклопедии или учебнике по линейной алгебре). Алгоритм ее вычисления следующий: складываются все элементы в столбцах (вернее, модули значений элементов), и наибольшая сумма определяется как норма данной матрицы. □norm2(M) — матричная норма в пространстве L2, □normi(M) — так называемая =>-норма, или норма на бесконечности (infinity norm). Вычисляется так же, как norml, но суммируются элементы не столбцов, а строк. □поппе(М). Норма в евклидовом пространстве. По аналогии с векторами, вычисляется как квадратный корень ИЗ суммы квадратов всех элементов матрицы. Так как нормы определяются довольно простыми выражениями, на практике можно специальные функции и не использовать. Поэтому в следующем примере нормы вычисляются обоими способами (обратите внимание на то, что результаты получаются очень близкими вне зависимости от выбранного алгоритма). Пример 3.42. Вычисление норм матриц (\ 2 3 М:= 2 3 8 nonnl(M) = 17 попп2(М) щ 15.224 " г « i = 0 max i Mi.2 i=0 = 17 ncnrni(M) = 22 norme{M)» 15.675 " 2 Zm. . IM.,j j=0 j-o £ EM-15875 J i =0 j =0 22 3.3.6. Вычисление ранга матрицы Ранг матрицы равен порядку наибольшего отличного от нуля минора этой матрицы. Величина эта служит прежде всего для характеристики матрицы системы уравнений, а также как параметр, определяющий, базисом пространства какой размерности может быть данное множество векторов. Для вычисления ранга матрицы в Mathcad существует специальная функция гапЦМУ В следующем примере находится величина ранга дня трех матриц. У первой (М) все три строки линейно независимы, у второй (Ml) имеются две линейно зависимые строки, у третьей (М2> все строки линейно зависимы. Пример 3.43. Вычисления ранга матрицы
rarikiM) = Э runkiMli =2 rank(M2) - 1 3.3.7. Функции вычисления собственных значений и собственных векторов Очень важной с практической точки зрения является задача о собственных векторах и собственных значениях матрицы, описывающей некоторую однородную систему. Это направление линейной алгебры находит широкое применение в экономике, программировании и особенно в инженерном деле (например, без него немыслима теория повреждений при максимальных нагрузках или теория о деформациях). Поэтому, естественно, в такой совершенной математической системе, как Mathcad, оно не могло не найти отражения. Собственные векторы Хг Х,,... и соответствующие им собственные значения \, матрицы М являются решениями матричного уравнения вида М-Х-Х-Х (I) В принципе, для небольших матрин, репцпъ уравнение такого вида совсем несложно, однако, если, к примеру, вам требуется найти корни однородной системы линейных дифференциальных уравнений, образованной 10 уравнениями, тут без помощи компьютера обойтись трудно. В системе Mathcad существует ряд функций, позволяющих весьма эффективно справляться с такой работой. □etgerrvats(M). Функция возвращает вектор, содержащий собственные значения матрицы М. Собственные значения расположены в векторе в соответствии с их величиной. □eigenvecs(M). Функция возвращает матрицу, столбцы которой являются собственными векторами ддя матрицы М. Между функциями eigenvals(M) и eigenvecs(M) существует следующая связь: n-му элементу вектора собственных значений соответствует п-й столбец матрицы собственных векторов. □etgenvec(M,X). Функция вычисляет собственный вектор матрицы М, соответствующий определенному собственному значению А. В следующем примере рассматривается вычисление собственных значений и собственных векторов для матрицы размерности п=3. Также проводится проверка правильности вычислений. Для этого, исходя из общего вида матричного уравнения (1), перемножаются собственный вектор и собственное значение матрицы М. Если расчеты были сделаны правильно, то полученный вектор должен равняться вектору, образованному перемножением самой матрицы М на ее собственный вектор. Пример 3.44. Вычисление собственных значений и собственных векторов матрицы М := 4 5 6 16.117 " eigenvals(M) -1.117 0 eigenvecs (М) т 0.232 0.786 -0.408 0.525 0.087 0,816 0.819 -0.612 -0.408 eigenvec (М, 0) т 0.408 -0.816 0.408 0 ... 35 36 37 38 39 40 41 ... 177
|
