Раздел: Документация
0 ... 78 79 80 81 82 83 84 ... 177 Проверяем мерность решения, передает! полученные значения корней соответствующей уравнению функции. Если они были найдены правильно, значение функции должно быть равно 0: 33 fl(x,a) := sm(x) + cos(ax) - 1 fi\9168683843,l) = -0.275 «43269639712+.673688674M, 2) * + 7.398i Функция не равна 0 даже ггриблиэительно, Вывод: корни были определены неверно. Чтобы убедиться, что в приведенном выше приме ре-уравнение было решено неверно, совсем не обязательно было создавать соответствующую уравнению функцию, Достаточно было обратить внимание па то, что параметр а не входит в выражения ответа. То же, что корни должны зависеть от параметра, очевидно. Вообще же, рекомендую вам воздержаться от символьного решения тригонометрических уравнений напрямую. Это одна из тех интеллектуально нагруженных задач, с которыми компьютеры справляются плохо. Если же вы все-таки используете оператор solve для решения тригонометрического уравнения, то обязательно проверяйте ответ так, как мы это сделали выше (а еще лучше строить График). То, что Mathcad не силен в решении тригонометрических уравнений, — это печальная реальность. Но это не значит, что такие уравнения придется решать па бумаге. Конечно, в одно действие и полностью отключив голову тригонометрическое уравнение в Mathcad вы вряд ли решите. Но если вы примете деятельное участие в процессе решения, разрабатывая стратегию самостоятельно и доверяя Mathcad лишь вычислительную часть работы, то с самыми сложными уравнениями удастся совладать с гораздо меньшими усилиями, чем при проведении всех операций на бумаге. Основная идея следующая: используя Mathcad, сводим преобразованиями разного рода сложное уравнение к элементарному, вроде cos(x)-0, а затем, уже безучастия программы, самостоятельно решаем его. То, как это делается на практике, показано в примере 8.8. Пример 8.8. Поэтапное решение тригонометрических уравнений Задача 1. Решить уравнение вида sin6(2t) + coa6(2t) - --(sin4(2t) + coe4(2f)) + -.(sin(t) + coa(t))-0 Данное уравнение содержит функции от 2t и L Нужно перейти к фуикщ-шм одного аргумента, а затем упростить полученное выражение. Одновременно обе дти операции выполнит оператор simplify: Ш?> sin(2i)6+ cos(2t)6~ -(sm(2t)4 + cos(2t)4) + (sin(t) + coe(t)) E simplify —* — + sra(t) -t- cos(t) Мы получили очень простое уравнение, которое далее нужно решать самостоятельно. Для начала сократим 1/2, после чего перенесем единицу вправо; sin(t) + cos(t) = 1 Возведем обе части уравнения в квадрат и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: I + 2Sin(t)-cos(t) = I Сократим единицы и используем формулу для синуса двойного аргумента: ми i 21) - О Та* как синус равен нулю точках л 1с (к — любое целое число), то решением уравнения будет С-(я-к)/2. Задача 2. Решить уравнение вида: sm(t) = n/2-sin(t)2-sin(2t) + 3-cos(t)2 Первым нашим шагом будет то, что функции двойного аргумента мы представим через функции одинарного аргумента. Сделать ГШ можно, задействовав оператор simplify: >/3-sin(l) - V 2-sinCt)2 - sin(2t) + 3cos(t)2 E*=Eaimpbry -» 32-«ii(t) - (-2-sin(t.)coa(t) + cos(t)2 + 2) Чтобы в уравнение входили лишь функции одного типа, заменюа косинусы выражением, содержащим только синус: Л Г1f В :»В юЬитше.сэтО) = J* - sin(i)3 -» i 2 tm(t) - -2- (j - «in(t)3) »n(t) 4 3 - ain(l)2 Mathcad плохо решает тригонометрические уравнения. А вот с алгебраическими уравнениями нрограмма справляется очень хорошо. Отсюда вытекает следующая стратегия решаем получен 1юе уравнение как алгебраическое етюенттыю sin(t). При этим мы узнаем, какие atшчения принимает синус А уж са*кхтоятелько стггивитьсsin(r)-y не составит труда 1 2 Е solve,sinft) —» --2 2 Нам повезла Уравнение имеет только одно решение. Значит, осталось только интерпретировать полученный результат. Сделав это, получим следующий ответ: т.1—*-2-я К и г2-3-я/4+2-я-к (к — любое целое число). Иногда помощь символьному процессору Mathcad нужно оказывать и при решении алгебраических, показательных и логарифмических уравнений. Если система не справится с задачей, преобразованиями и именами нужно постараться свести выражение к тождественному» но более простому. Например, если в уравнение входят неизвестные в дробной степени, следует подобрать такую замену, чтобы иррациональность исчезла (Mathcad очень «не любит» иррациональные выражения). Если программа не способна решить показательное уравнение, его левую и правую части стоит прологарифмировать. Зачастую отличный эффект дает банальноеупрощеЕше выражения уравнения с помощью оператора simplify с указанием области изменения переменной посредством оператора assume. В общем, различных приемов можно придумать очень много. Главное — сразу не сдаваться, если оператор solve не сможет найти корни уравнения. Помогая программе, направляя ее. вы сможете решить 99 % уравнений, которые имеют аналитическое решение. Пример 8.9. Поэтапное решение алгебраических и показательных уравнений Задача 1. Решить алгебраическое уравнение вида: Если мы попытаемся решить данное уравнение, не проводя никаких преобразований, то аналитического ответа программа найти не сможет. На это есть две причины. Во-первых, в качестве множителей в левой части уравнения выступают десятичные дроби. Символьный процессор плохо опер)трует такими числами. Поэтому десятичные дроби 1гужно перевести в обыкновенные. Сделать это позволяет оператор factor. Во-вторых, выражение уравнения слишком сложно. Его необходимо упростить, задействовав оператор simplify. Чтобы упрощение было эффективным, нужно указать область изменения х (по умолчанию система считает все неизвестные комплексными величинами). Так как в уравнении несколько раз вычисляются корни четной степени нэ х в нечетной степени, то, следовательно, х не может бьггъ отрицательной величиной. 8.4 Jx 7- 0.2-Jx- JyF I factor -I "42+ х2 + 5-х2 assume, х > 0 -*---5 7 simplify 12 Полученное в результате проведенных преобразований уравнение Mathcad решит без проблем: 1 3 -Л -42+ х2 + 5-Х2 5 7 12 х Задача 2. Решить алгебраическое уравнение вида: it—г- 5/ solve,х—» 4 5- Jx- yfx + 3--/хх= 8 Если попробовать решить данное уравнение напрямую, то Mathcad сможет найти пять корней, четыре из которых комплексные и только один — ле ветви тельный: 3ГГ 5НГ solve, х float,5 1.,k -2.0657+ 5.4484-i 2.0657- 5.4484-i -2.0657- 5.4484-i 2.0657+ 5.4484-i Однако проверка показывает, что найденное Mathcad решение верно лишь для корня х-1. Комплексные же корни определены неправильно, в чем можно легко убедиться, выполнив подстановку 0 ... 78 79 80 81 82 83 84 ... 177
|
