Раздел: Документация

0 1 2 3 4 5 ... 87

ется неравномерно нагретое тело, в котором свойства материала зависят от температуры, распределенной по объему непрерывным образом (или с конечным числом разрывов).

Определенной идеализации подвергается также и понятие «внешние силы». В механике предполагается, что сила полностью определена, если задан соответствующий вектор, при этом сила рассматривается как результат взаимодействия двух твердых тел. С згой точки зрения вектор силы, действующей на поверхность тела, означает сосредоточенную силу, т. е. силу, приложенную в точке. Однако, в действительности, «сосредоточенных» сил не существует.

Идеализированное понятие о точечном контакте двух твердых тел неразрывно связано с идеализацией твердого тела как абсолютно жесткого. При контакте реальные твердые тела деформируются, образуя площадку контакта конечных размеров, по которой давление распределяется непрерывно и неравномерно. Однако у достаточно прочных материалов размеры площадки контакта значительно меньше остальных размеров конструкции, поэтому прн расчете напряженно-деформированного состояния (НДС) элементов конструкции вдали от площадки контакта ввод идеализированной сосредоточенной силы вполне оправдан. Но при расчете НДС вблизи этой площадки замена распределенного давления сосредоточенной силой приводит к значительным погрешностям.

Таким образом, физическая модель может быть наделена лишь частью свойств реальной конструкции, а поэтому— проще ее математическое описание От того, насколько удачно выбрана физическая модель конструкции, зависит, в конечном итоге, трудоемкость расчета и точность его результатов. Здесь многое зависит от опыта расчетчика, его понимания работы конструкции, умения выделить те характеристики, которые, в основном, и определяют ее работу.

1.1.2. Построение математической модели

Следующим этапом расчета является математическое описание поведения модели, или построение математической модели. В самых общих чертах она включает в себя входные и выходные данные н математически сформулированный оператор перехода от первых ко вторым.

Прн математическом описании поведения модели часто приходится вводить дополнительные упрощающие предположения о характере отдельных свойств модели и ее материала. Этим объясняется, в частности, существование для одной и той же физической модели нескольких различных математических моделей. Так, например, если задачей расчета балки из изотропного материала на изгиб является определение лишь нормальных напряжений, в основу математической теории изгиба достаточно положить гипотезу плоских сечений, по которой плоские до деформации поперечные сечения балки остаются и после деформации плоскими и ортогональными к изогнутой оси (техническая теория, или теория Бериулли—Эйлера). Однако точная теория, построенная Сен-Венаном для изгиба балки сосредоточенными силами, показывает, что, хотя гипотеза плоских сечений и не с°блюдается, полученные на ее основе результаты весьма точны для балок, длина которых гораздо больше размеров ее сечения. В то же время, как известно из технической теории изгиба, введение гипотезы плоских сечений позволило описывать деформированное со-стояние балки при помощи небольшого числа параметров.

Для перехода к напряжениям в технической теории изгиба понадобилось еще сделать предположение об отсутствии взаимодействия между слоями, параллельными оси балки.

При математическом описании поведения изотропных пластин также используется Р*Д гипотез: прямых нормалей, прямой лннин, о равномерном распределении касательных напряжений по толщине пластины и т. п.

1.1.3. Метод исследования математической модели и анализ полученных результатов

Часто для математической модели может существовать несколько методов ее иссле-"ания. Так, например, дифференциальное уравнение

---

X 7 Т

*В1(х) к(х)

[е1(х)о>(х)] -to)\x)+k{x)aix) = q{x)(l.i)

прн некоторых краевых условиях образует матеря)матнческую модель изгиба непрнзматнческой

балки с нзгибной жесткостью El{x), лежащей Гна упругом основании переменной жесткости

X к{х) н подверженной действию поперечной нагрузки интенсивностью С/{х) и осевых сил

Рис. 1.27 (рнс. 1.2).

Исследовать данную математическую модель, т. е. получить решение дифференциального уравнения (1.1) прн заданных граничных условиях можно с помощью обобщенного метода начальных параметров, метода Ритца, метода сеток, метода коллокацнй, метода конечных элементов н т. д. Выбор метода исследования математической модели может существенно сказаться на устойчивости алгоритма —- чувствительности результата решения к неизбежным погрешностям числовых операций. Например, прн расчете достаточно длинной балки, лежащей на упругом основании, использование метода начальных параметров может привести к числовой неустойчивости н большим погрешностям результатов. В то же время использование метода прогонки приводит к устойчивому числовому

алгоритму.

1.2. Элементы матричной алгебры

Основные соотношения метода конечных элементов записываются в матричном виде с привлечением ряда операций матричной алгебры. Ниже приводятся сведения, необходимые для понимания дальнейшего изложения.

Напомним, что линейная система алгебраических уравнений имеет вид:

аих, + а!2х2+а13х3 +

+ а1пХп=Ь1

°21 xl+a22X2+a23X3+" + °2п Хп = Ъ2

(1.2)

°п.1 Х1 +ап,2 Х2 +ап,3 Х3 + - +°п.п Хп = К

где Xj,X2.....Хп —неизвестные.

Ту же самую систему в матричной форме можно записать короче:

Ai = b

где

а11 а12 °21 °22

ап,1 ап,2

Чп

*2п

п,п

П J

(1.3)

(1.4)

А называется квадратной матрицей размером И X И, a i н b — векторами размерности П.

Сложение и вычитание матриц. Для двух матриц А н В одного н того же размера {т Хп) справедливы соотношения:

---

С = А + В, прнэтом Cj- =aij +ij< D = А - В, прнэтом d.j =Ojj ~b{j.

Умножение матрицы на скалярную величину производится по правилу:

Умножение двух матриц. Для двух матриц: А размером (/Xffl) и В размером Ц X П ) справедливо следующее соотношение:

т

С = АВ, прнэтом С. , = X aik \ j >

где i = /Д...,/,* У = /Д...,И . Заметим, что в общем случае АВ * ВА, но (АВ)С = A(BQ. Транспонирование матрицы. Транспонированной по отношению к матрице А = J называется матрица Ат= \ciji ]. Заметим, что (АВ)Т=ВТАТ.

Симметричная матрица. Квадратная матрица А размером (лХи) называется симметричной, если А = Аг, или djj—Qjj.

Единичной матрицей I называется квадратная матрица вида:

"1 0 ... О О 1 ... О

1 =

О О

1

Заметим,что A I=A, 1х = х. .. Детерминант (определитель) квадратной матрицы А обозначается через detA, или

А . В частных случаях, для матриц размером (2x2) и (3 X 3) детерминант определяется по формулам:

detjа I = ad —be lc dj

det

*2I

La3>

a.

"23

-ОцОп"}! -ОчОгЛз ~агп»ц

Матрица, для которой detA = 0, называется сингулярной. Инверсш «деляется

Инверсия (обратная матрица) А квадратной н не сингулярной матрицы A (detAO) гделяется следующим образом: АА"=А" А=1. Заметим, что (АВ) 1 = ВА"1. Например:

Га ЪТ1 = 1 \d -Ь 1е d\ (ad-bc)\rc

0 1 2 3 4 5 ... 87