Раздел: Документация
0 ... 5 6 7 8 9 10 11 ... 78 Это доказывает, что метод максимальной энтропии дает авторегрессионное решение. Практическое вычисление коэффициентов \а(т) включает решение уравнений (3.11). Можно показать, что энтропия определяется выражением [3] Н = lim j In [del Rw] = \ In [Pa],(ЗЛ4) где RN - корреляционная (А/ X/V) -матрица процесса; Рт - дисперсия ошибки прогноза при прогнозировании процесса из бесконечного прошлого. Из (3.14) следует, что процесс с максимальной энтропией характеризуется максимальной величиной Р„, другими словами, он наименее предсказуем. Поэтому метод максимальной энтропии обеспечивает получение наиболее "плоского" спектра, согласующегося с корреляционными характеристиками процесса. В самом простом случае, когда единственным ограничением, налагаемым на корреляционные характеристики, является заданное значение мощности сигнала г (О), процесс с максимальной энтропией - это процесс, подобный белому шуму с дисперсией г(0), так как он дает максимальную ошибку прогноза Р [-г (0)]. Когда спектр задается значениями корреляции / (0), г (1),... ,г(р), это эквивалентно заданию ошибок прогноза jPj, Рг,... ,Р , где Рк - дисперсия ошибки прогноза процесса, на основе к прошлых значений. Поскольку ошибка прогноза может только уменьшаться (или в худшем случае оставаться неизменной), когда для него используется все большая часть прошлого процесса, должно выполняться условие Р/(+1 <РЛ. Следовательно, для наперед заданных (Plt Р2,..., Рр) спектром с наибольшим значением Р„ будет такой, в котором величина Рк сохраняется на постоянном уровне Р при всех к>р. Спектр процесса авторегрессии обеспечивает такое постоянство, а следовательно, он также является спектром максимальной энтропии или наименее предсказуемым (самым "белым") спектром, согласующимся со значениями корреляционной функции в первых точках. Теоретическое обоснование критерия максимума энтропии дано в работах [53, 54] 5 где показано, что для гауссовских процессов оценка по методу максимума энтропии минимизирует так называемую относительную энтропию или взаимную информацию Кульбака-Лейблера [55], определяющую степень различия между плотностью вероятности, соответствующей данной оценке, и плотностью вероятности процесса типа белого шума. 3.3.3. Метод Писаренко [15,16] Приведенная в 3.3.2 интерпретация метода максимума энтропии как метода, обеспечивающего получение оценки в форме "самого плоского" спектра, ставит под сомнение возможность его применения к оценке положения спектральных линий. Например, максимизация энтропии бессмысленна, если априорно известно, что сигнал состоит только из свободных от шума синусоидальных составляющих, положение которых может быть предсказано с нулевой ошибкой (/>„ =0), и характеризуется минимальной энтро-52 пией. В этом случае стремятся к получению линейчатого, а не максимально плоского спектра. Кроме того, ограничения, налагаемые на корреляционную функцию методом максимума энтропии, необоснованны, когда заранее известно, что присутствует некоррелированный аддитивный шум, так как в этом случае модель авторегрессии не соответствует корреляционной функции процесса. Рассматриваемая ковариационная матрица R представляет собой сумму ковариационных матриц сигнала Кх и ковариационной матрицы шума Rn (т.е. R = Rr + Rw). Интуиция подсказывает, что, прежде чем подстраивать модель к ковариационной матрице R, желательно уменьшить вклад в нее шумовой составляющей. Для простоты положим, что шум является белым (т. е. R/; =о21). В этом случае модель авторегрессии, подстроенная к модифицированной ковариационной матрице (R - о2!), дает увеличенную разрешающую способность. Часто значение о2 неизвестно, и тогда приходится использовать оценку а2. Чем больше значение оценки о2, тем уже пики спектральной оценки, соответствующей матрице (R - о 21), при этом уменьшается энтропия (так как уменьшается мощность ошибки прогноза Р). Наибольшее значение о2, которое может быть вычтено так, чтобы матрица (R -a2I) оставалась неотрицательно-определенной, представляет собой наименьшее собственное значение матрицы R. В предельном случае, когда о2 - наименьшее собственное значение матрицы R, матрица (R - о21) становится сингулярной (но все еще неотрицательно определенной), Ру. -= 0 для всех к>р и энтропия минимальна. Для этого предельного случая минимальной энтропии характеристики прогнозирующего фильтра определяются нуль-вектором матрицы (R о21) или, что то же самое, собственным вектором матрицы R. соответствующим наименьшему собственному числу. Этот метод был впервые предложен Писаренко [16] для решения задачи выделения синусоидальных сигналов в белом шуме. Рассмотрим подробно модель синусоидальных сигналов в шуме. Предположим, что имеется р комплексных экспоненциальных составляющих с амплитудами {q{, / = 1, 2,... ,р} и частотами {oj(-, i =1, 2,. .. ,р] в смеси с некоррелированным белым шумом. Тогда теплицева (р + 1) X (р+ 1) -матрица, образованнаяточ-ными значениями корреляционной функции, в идельном случае должна иметь следующий вид: R = RX + R„ =FAF*+ a2!, где * - знак транспонирования с переходом к комплексно-сопряженным величинам; 11 •• 1 е j"" е >">2е"" г =. А= diag (qf, i = 1, 2,р).5з Относительно данной модели можно сделать следующие замечания: 1)матрица FAF* имеет ранг р, и поэтому значение о2 должно быть собственным значением (р + 1) X (р + I) -матрицы R; 2)в действительности значение о2 должно быть наименьшим собственным значением, поскольку матрица (R -o7T](=Rx) - неотрицательно-определенная; 3)наконец, вследствие важной теоремы Каратеодори [35] корни, связанные с собственным вектором, соответствующим а2, будут равны {ei", /=1,..., />}, iOj Ф Wf.когда* fj. Из этих результатов вытекает метод Писаренко, основные этапы которого состоят в следующем: 1)вычислить наименьшее собственное значение матрицы R; 2)вычислить соответствующий собственный вектор а; 3)определить местоположение спектральных линий, решая уравнения a(z) = 0; 4)определить мощность каждой синусоидальной составляющей, решая матричное уравнение I ../ГЦ1 -I F
где F получается из матрицы F исключением последней строки. Минимальные собственные значения матрицы R могут быть эффективно вычислены с помощью модифицированной итерационной схемы Релея, основанной на теплицевой структуре матриц, которая может быть реализована в виде СБИС [32, 36]. Если число синусоидальных сигналов заранее неизвестно, то исследование можно начать с теплицевой матрицы размера NXN и найти распределение ее собственных значений. В идеальном случае наименьшее собственное значение будет иметь кратность (Л- р), а р можно оценить из распределения собственных значений. Однако в большинстве практических случаев имеется множество собственных значений в окрестности наименьшего, а не одно кратное наименьшее собственное значение. Тогда непосредственное применение метода Писаренко невозможно. В этих случаях необходимо обращаться к таким методам, как MUSIC (Multiple Sigual Classification) [29] (см. подразд. 3.3.4), или к методу теплицевой аппроксимации (см. разд. 3.4). Кроме модели авторегрессии и метода Писаренко для получения спектральных оценок с высокой разрешающей способностью использовались модели авторегрессии скользящего среднего. Интересующихся читателей отсылаем к работам [19-21. 24, 33, 39-44,49-51]. 3.3.4. Применение перечисленных методов при обработке сигналов в фазированных антенных решетках Рассмотренные методы, используемые в современных задачах спектральной оценки, могут быть непосредственно применены к формированию лу-54 чей и обработке сигналов в фазированных антенных решетках подводных пассивных гидроакустических систем. Одной из основных функций системы обработки сигналов в фазированной антенной решетке является определение числа источников, имеющихся в среде, и их основных параметров, таких как направление и интенсивность излучения, с помощью сигналов, полученных от N датчиков [26-28]. Связь спектральной оценки с оценкой углового положения становится очевидной, если заметить аналогию между задачей оценки положения спектральных линий по временному ряду и задачей оценки угловых положений по последовательности пространственных отсчетов. Здесь параметр в, характеризующий угловое положение источника, аналогичен частоте, а пространственные отсчеты, обеспечиваемые приемниками сигналов, играют роль временных отсчетов [52]. Поэтому необходимы только некоторые подстановки и изменения в интерпретации результатов перед тем, как использовать упомянутые методы спектрального оценивания. Для простоты полагаем, что для измерения используется линейная эквидистантная решетка приемных элементов. В этом случае временная корреляционная матрица R должна быть заменена пространственной корреляционной матрицей S (т. е. элементы матрицы S характеризуют корреляцию между сигналами приемных элементов). Переменная to, которой обозначалась частота, теперь связана с пространственным угловым направлением в. Фазирующий вектор определяется выражением а(0) = [ 1, е ю, е >2о>, ..., е F 1 )<0] т, где теперь со = 2 (d/X) sin в; d - расстояние между приемными элементами; Л - длина волны принимаемого сигнала. Таким образом, вместо энергетического спектра вычисляется пространственный спектр Р(в), а оценка положения пиков в последнем приводит к оценке направления на источники. При обычном методе формирования лучей используется формула Рфл(0) =a*(0)Sa(0),(3.15) которая с учетом выражения для а (б) приводит к классической форме спектральной оценки N 1 Рфп(в) =a*(0)Sa(0)= I W(n)S(n)c >>" Это выражение является преобразованием Фурье корреляционной функции S(n) с треугольным окном W (и) [см. (3.3)]. Важно отметить, что аналогичный подход может быть распространен и на решетки случайным образом расположенных элементов. При этом фазирующий вектор а (б) будет зависеть от геометрии решетки и, как нетрудно понять, пространственная корреляционная матрица не обязательно будет иметь теплицеву структуру, т.е. корреляция между сигналами, принятыми i-м и /-м элементами в общем случае, будет отличаться от корреляции между сигналами, принятыми (i+k)-M и (j+k)-M элементами. За исключением этого, 55 соответствующий спектр по-прежнему определяется с помощью выраже- НИЯ yj.l j) .r Применяя распространенный метод, впервые предложенный Ксйпоном [1/, 18J для обработки сигналов в решетках, можно получить оценку [29] ---:---.(3.16) Основная идея здесь состоит в том, чтобы определить вектор с, формирующий луч, который имеет единичный коэффициент передачи в направлении в и в то же время обеспечивает минимальную выходную мощность c*Sc, так что вклад составляющих других направлений минимален. Оптимизация при условии с*а(0) = 1 приводит к минимальной мощности (а*(г})8",а*(в))-!. В условиях обеспечения минимума выходная мощность в основном определяется мощностью составляющих направления 0, и это приводит к оценке Р(в), даваемой выражением (3.16). Для стационарного случая можно использоьать также принцип максимума энтропии. Он приводит к следующей оценке [29]: а*(0)ес*а(0) где с - решение уравнений Винера-Хопфа с матрицей S, а также первым столбцом S~ (с точностью до масштабного коэффициента). При решении данной задачи может быть применен и метод Писаренко. С помощью процедуры, изложенной в подразд. 3.3.3, для оценки углового положения источников можно использовать собственный вектор матрицы S, соответствующий минимальному собственному значению. Однако более распространенный в этой области подход основан на определении разложения собственных значений и собственных векторов матрицы S по методу, предложенному в [27 - 31]. Эти методы похожи, но несколько отличаются друг от друга фактическим использованием собственных векторов. Так, например, согласно методу MUSIC, предложенному в работе [29], осуществляется следующая оценка: MUSIC (0) где /Гдг - матрица, образованная из собстьекных Еекторов, связанных с N-M наименьшими собственными значениями корреляционной матрицы S (здесь М - число целей). Очень похожий метод был независимо предложен в работах [27, 28]. Теоретически N-M наименьших собственных значений должны совпадать по величине, но на практике они только очень близки. Таким образом, в отличие от метода Писаренко, в котором используется только один собственный вектор, здесь применяются все собственные векторы, соответствующие самым малым собственным значениям. 56 . В работе [30] предложен другой метод, базирующийся на основных собственных векторах. В общем случае эти методы легче в реализации, а также менее чувствительны к флуктуации параметров, чем метод Писаренко. В двух последующих главах эти методы рассматриваются более детально. 3.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ СИНГУЛЯРНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ Среди методов, рассмотренных в разд. 3.3, наиболее распространенные и хорошо разработанные методы, основанные на преобразовании Фурье, характеризуются значительным смещением оценки и невысокой разрешающей способностью. Метод максимума энтропии и метод Писаренко обеспечивают существенно лучшую разрешающую способность. Однако оказывается, что для оценки спектральных линий с высокой разрешающей способностью более предпочтительным является подход, основанный на разложении по собственным значениям (такой, как метод MUSIC [29], рассмотренный применительно к обработке сигналов в фазированной антенной решетке). В присутствии окрашенного шума, при наличии корреляционных погрешностей, а также при конечной точности вычислений в окрестности наименьшего собственного значения возникает множество собственных значений, а не одно кратное собственное значение, и простой метод Писаренко оказывается неприменимым. Метод Писаренко очень чувствителен к корреляционным ошибкам и ошибкам, обусловленным ограниченной точностью [47], и поэтому требуются более устойчивые модели. Метол моделирования сигналов на основе сингулярного разложения, который быстро привлек к себе большое внимание, был предложен в работе [22]. Суть его состоит в том, что для нахождения характеристик прогнозирующего фильтра определяются собственные векторы матрицы R, соответствующие наибольшим собственным значениям, а не наименьшему, и затем вычисляются частоты синусоидальных составляющих. Можно избежать вычисления корней полинома, если моделировать синусоидальные сигналы в шуме методами пространства состояний. Это дает свободу выбора координат, а поимеры моделирования [56] убеждают нас в том, что при этом могут быть получены и лучшие характеристики. Модель синусоидальных сю налов в шуме допускает очень специфическое представление в пространстве состояний. Например, для чисто синусоидальных сигналов исходные данные могут быть описаны выражениями = Fxfc> Ук=Ъхк где хд. - вектор состояния, т.е. (/гХ!)-матрица; F иЬ - постоянные матрицы размера пХп и 1Хи соответственно, а собственные значения матрицы F должны лежать на окружности единичного радиуса. Данные полностью задаются тройкой (F, х0, h), но эта тройка определяется только с точностью до преобразования подобия. Заслуживает интереса представление с диагональной матрицей F. Toi да F = diag(eJOJ eJ"2 • е""), 0 ... 5 6 7 8 9 10 11 ... 78
|
