Раздел: Документация
0 ... 7 8 9 10 11 12 13 ... 78 Entropy and the Principle of Minimum Cross-Entropy," IEEE Trans. Info. Theory, /T-26(i):26-37(Jan. 1980). [54] J. E. Shore, "Minimum Cross-Entropy Spectral Analysis," f£EE Trans. Acoustics, Speech and Signal Processing, Vol. ASSP-29, no. 2, pp. 230 237, April 1981. [55] S. К ul I back and R. A. Leibler, "On information and sufficiency," Annals of Mathematical Statistics, Vol. 22, pp. 79-86, 1951. [56] S. Y. Kung, О. V. Bhaskar Rao, and K. S. Arui\ "New state space and singular value decomposition based approximate modeling methods for hormone retrieval," IEEE ASSP Spectrum Estimation Workshop II, Tampa, Florida, Nov. 1983, pp. 266-271. 4 СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ С ВЫСОКОЙ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТЬЮ. ПОДЧЕРКИВАНИЕ ОСНОВНЫХ МОД Н. Аузли1 4.1. ВВЕДЕНИЕ Методы спектрального анализа с высокой разрешающей способностью нашли широкое применение в одноканальных системах [1], а также в многоканальных системах с антенными решетками [2]. Появившиеся совсем недавно методы пространственно-временного спектрального анализа в системах с антенными решетками являются по существу дальнейшим развитием известных процедур анашза спектра мощности [3, 4]. Среди этих методов основными являются: во-первых, метод фильтрации, при которой формируется неискаженный выходной сигнал с минимальной дисперсией (МД) и который тесно связан с методом максимального правдоподобия [1, 2], во-вторых, метод максимума энтропии (МЭ), обобщающий целый класс методов линейного сглаживания и прогнозирования с минимальной средней квадратической ошибкой [5, 7]. Дтя этих методов характерно отсутствие априорной информации о размерности векторных пространств составляющих сигнала или шума, подлежащих анализу. Такая априорная информация о сигнале задается в виде сведений о полосе частот, об угловом, радиальном участках для соответствующих параметров сигнала. Априорная информация о том, что шум может быть приведен к белому и что размерность подпространств, порожденных сигналами и принятыми данными, невелика по сравнению с размерностью анализируемых данных, может использоваться для увеличения разрешающей способности устройства спектральной оценки. Разрешающая способность при этом будеч ограничиваться лишь временем наблюдения. Описываемый здесь метод адаптивного спектрального анализа основан на "модальном" разложении ковариационной мат- 1 Центр подводных систем ВМС, Нью-Лондон, Коннектикут рицы данных наблюдения. При данном подходе процедуры, которые могут быть выражены через ортонормальное [8-10] или сингулярное разложение [10] или разложение Холецкого ковариационной матрицы, в отличие от процедур ортогонализации Ерама-Шмидта [11] и аналогичных процедур могут быть реализованы в виде решетчатых фильтров [12]. Использование ортонормальных разложений по собственным векторам ;для пространственно-временного спектрального анализа развивалось от непараметрической и адаптивной обработки сигналов антенных решеток [13 - 15] до спектральной оценки с высокой разрешающей способностью [9, 10, 15 - 22]. Часто считают, что зти методы специфически основаны на Ортогональных разложениях шумового процесса и суммы шумового процесса с сигнальным. Однако в этой главе два различных варианта таких устройств спектральной оценки с высокой разрешающей способностью строятся согласно выражениям, формально описывающим МД- и МЭ-оцен-ки. Дополнительная априорная информация, позволяющая увеличить разрешающую способность устройств оценки МД- и МЭ-типов, заключается в том, что, во-первых, шум является некоррелированным или может быть приведен к белому и, во-вторых, составляющие анализируемого сигнала являются узкополосными. В этой главе даны разложения по "основным модам" ковариационной матрицы входных данных и обратной матрицы. Затем даются соотношения для МД- и МЭ-оценок с использованием модальных разложений и выражения для определения ширины пика в спектре мощности по уровню 3 дБ от максимального значения. В заключительной части главы приведены данные о применении устройств спектральной оценки МД- и МЭ-типов для оценки дальности до источника сигнала в системах с антенной решеткой. 4.2. МОДЕЛЬ СИГНАЛА Пусть ковариационная матрица А-мерного стационарного векторного процесса с нулевым средним и дискретным временем х(г) определяется выражением R= £{x(f)x(f)b(4.1) где штрих обозначает транспонирование с переходом к комплексно-сопряженным величинам. На практике, конечно, может использоваться усредненная по времени оценка матрицы R вместо усредненной по ансамблю аналогичной величины, определяемой (4.1). Предполагается, что ковариационная матрица R содержит составляющие сигнала и шума, т. е. R = P+a2V,(4.2) где Р - ковариационная матрица сигнала рангом К (К<£ <А); о2 - дисперсия некоррелированного шума; 1 - единичная матрица размера АХА. Ковариационная матрица сигнала может быть представлена двумя способами. В первом случае при использовании представления с помощью фактических сигналов матрицу Р можно записать в виде P= I KD(ep)D(9p).(4.3) p=i «=i При втором способе с использованием разложения на основные моды по лучим к Р= ХАкМ4М;.(4.4) Согласно (4.3) ковариационная матрица представляется через множество TV-мерных сигнальных векторов {Щер): р = 1, 2, ...,£}, не обязательно линейно независимых. Величина о2 характеризует взаимную корреляцию р-й и g-й комплексных огибающих сигнала с нулевыми средними значениями. Согласно (4.4) ковариационная матрица сигнала представлена через собственные векторы Mi, Л12,..., Мд., соответствующие собственным числам X, >Х2 > .. .> Лд.. Сигнал предполагается узкополосным, что позволяет разделить его описание во временной и пространственной областях [23]. Два важных примера описания сигнала в каждой из этих областей определяются следующими выражениями для и-го элемента вектора сигнала D(flp). В случае спектрального анализа временных рядов с постоянным интервалом дискретизации д D(6P)J =ехр(-/2я7>Д),(4.5) где fp - дискретные частоты. В случае пространственного спектрального анализа для линейной антенной решетки, элементы которой расположены вдоль оси X, В(ер)2 = ехр(-;2я/три)= " = ехр [ J2(rP+Xn-2rpXncoSpy2y (4.6 а) (4.6 6) ехр , J2nflr„ - Хп cos рр + (sin2 PJVrjXJl J(4 6в) Пространственная модель р-й составляющей сигнала на частоте / в (4.6) характеризуется временем распространения трп волнового фронта от р-го источника сигнала до и-го элемента антенной решетки. Предполагается, что скорость распространения волнового фронта в однородной среде равна с, источник находится на расстоянии гр под углом (Зр относительно нормали к оси TV-элементной антенной решетки. Геометрические соотношения иллюстрируются на рис. 4.1. Выражение (4.6 в) получено из (4.6 6) с помощью разложения в ряд Тейлора выражения для времени распространения ZpnJll±L*(4?) p,jC 4.1. Геометрические соотношения для линейной элементной антенной решетки с расположением элементов по оси X. Координаты источника сигнала р : г - дальность, В - угол визирования Источник р  по переменной Хп при условии, что гр > Хп. Оценка временной задержки распространения фронта волны Dm.B(P) = TP".-Tl»(4.8) между т-ы и п-м элементами решетки {т, п = 1, 2,..., N], а также соответствующей совокупности L значений параметров дальности и утла визирования является проблемой, представляющей в настоящее время значительный интерес [24, 25]. Эта проблема эквивалентна задаче оценки геометрических параметров источников сигналов Рригр (р = 1, 2,..., L ) [30]. Рассматриваемые здесь оценки как частоты, так и времени задержки являются функциями оценки ковариационной матрицы, определяемой, например, выражением R=i Ix(i)x(t).(4.9) Однако в следующих разделах предполагается, что известно точное значение ковариационной матрицы (4.2), а в разделе, посвященном оценке дальности, влияние конечного времени усреднения Т рассматривается эмпирически. Прежде чем приступить к рассмотрению основного вопроса, обратимся к двум формам представления ковариационной матрицы R и обратной матрицы R-1. Обозначим через М матрицу размера NXK, столбцами которой являются собственные векторы1 Мд. матрицы Р, через X - диагональную (КХК) -матрицу с диагональными элементами, значения которой равны ненулевым собственным значениям Хк, и определим модифицированную ковариационную матрицу2 как R(e) = еМХМ + o2lN.(4.10) 1 Соответствующие ненулевым собственным значениям. - Прим. ред. » В оригинале enhanced data covariance matrix - дословно "улучшенная ковариационная матрица данных". Автор, очевидно, полагает, что улучшение заключается в том что при е>1 происходит как бы "подчеркивание" основных мод. Ввиду отсутствия в литературе на русском языке соответствующего термина мы переводим его как "модифицировашчая ковариационная матрица". - Прим. ред. Выражение для обратной матрицы примет вид r0)~ 1 I, М [1К + - X е М (4.11а) 1 I 1+- е/.к (4.116) Скалярный параметр е в дальнейшем будет называться коэффициентом модификации. Очевидно, что R(l) =R. Для получения оценки R(e) 1 в выражение (4.11) можно подставить оценку собственных векторов и собственных чисел. Рассмотрим теперь другую форму R(e) =еСС +o2lN.(4.12) Здесь С - матрица, получаемая в результате разложения Холецкого Р = СС ковариационной матрицы сигнала Р. Алгоритм, реализующий указанную процедуру, рассматривается в разд. 4.3. Выражение для обратной матрицы можно представить в виде RfcO- = Л" Рлг-С(С*С+ -Ir-)-1 С*].(4.13) 4.3. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В этом разделе представлены два подхода к обеспечению высокой разрешающей способности при спектральном анализе. Оба метода следуют из формулировки задачи квадратичной минимизации с линейными ограничениями. При этом предполагается, что: 1)подпространство сигналов имеет размерность К; 2) шум является процессом с нулевым средним и независимыми одинаково распределенными значениями; 3)спектральная разрешающая способность должна быть максимальной. Максимизация разрешающей способности эквивалентна утверждению о том, что коэффициент модификации е должен быть наибольшим. Это обусловлено тем, что увеличение е эквивалентно увеличению отношения сигнал-шум (ОСШ), что является основным требованием для увеличения разрешающей способности. 4.3.1. Оценка спектра по методу минимальной дисперсии Для этой процедуры необходимо найти вектор W линейного фильтра, обеспечивающий решение следующей задачи минимизации с ограничениями: минимизиров ать o2Ma=E{\Wx(t)\2:e},(4.14а) <&fl = wR(e)w,(4Л4б> meR(e) определяется выражением (4.10); максимизировать спектральную разрешающую способность (т.е. е~>°°). Ограничение: неискаженный (единичный) отклик ( 1 = WD(e). Решение: МД R(e)-D(8) W = <7(в, e) -i где g(% e) = D(6)- £«*,«?)М;1Хв1Мк k= ! N- £*(*, e)\MkD{Q)\2 Ык, e) = 1 + i (4.14 b) (4.15 a) (4.15 6) (4.15 b) (4.16) (4.17) Оценка спектра мощности по минимуму дисперсии определяется формулой (4.14 а) при W = \УМД, откуда W0) 1 rW " ~ D(6)R(e) lD(6) = <т2д(Ь, с). (4.18) (4.19) Модифицированная оценка спектра по методу МД может быть получена на основе процедуры (4.18) при подстановке вместо b (к, е) \\тЬ{к, е) = 1,(4.20) е-* гг. что дает ммд(в) = К-(4 21-, Заметим, что (4.15 6) является решением, обеспечивающим требование минимизации только при одном ограничении (4.14в). В том случае, когда используется дополнительная информация о размерности пространств сигнала и шума, решениями являются выражения (4.15 в) и (4.19). И наконец, отметим, что требование максимальной разрешающей способности удовлетворяется при выполнении условия (4.20), которое приводит к оценке (4.21). 4.3.2. Оценка спектра по методу максимума энтропии Для задач сглаживания и прогнозирования требуется найти такой вектор фильтра W, при котором и-й элемент х(г) (обозначим его через хп (t)) оценивается в смысле минимальной средней квадратической ошибки линейной комбинацией остальных N- 1 элементов вектора х(г). Эта задача в совокуп- 69 0 ... 7 8 9 10 11 12 13 ... 78
|
