Раздел: Документация
0 ... 8 9 10 11 12 13 14 ... 78 ности с требованием обеспечения максимальной разрешающей способно ости при условии, что ковариационная матрица имеет структуру (4.10), моожет быть сформулирована в виде следующей задачи оптимизации с ограштаче-ниями: минимизировать о2)Э = Е {W х(г)2 :е} ,(4.2:-2а) rneR(e) определяется выражением (4.10), максимизировать спектральную разрешающую способность (т.е. е->~°°)-Ограничение: сглаживание или прогнозирование в точке и 1=WI„,(4.222 6) где \п - действительный W-мерный вектор, состоящий из нулевых элементиов, за исключением и-го, равного 1. Решение этой задачи с учетом только ограничения (4.22 б) имеет вид R(e)-Il« Подставляя в (4.23) выражение (4.10) для матрицы R(e), получаэем Щэ=д(п,е) \„- Ык,е)Мк\пМкЛ,(4.224) *= 1J где д(п, е) = (l - £ Ык, е) Мк 1„ 2) •(4.2:25) Предположим теперь, что вектор входных данных х(г) состоит из выббо-рочных отсчетов, равномерно распределенных с интервалом д как для врре-меннбй последовательности при анализе спектра частот, так и для простреан-ственных выборок сигнала в случае анализа пространственного спектра. ПгД?0 цессы в обеих задачах являются стационарными. Под пространственююй стационарностью предполагается отсутствие источников излучения в блииж-ней зоне. Это требование сводит данное обсуждение только к задачам оцеэн-ки угловых положений источников. Учитывая эти замечания, а также гто, что х (/ п) определяется как наименьшая средняя квадратическая оцезн-ка хп (/) =х (t - п), получаем выражение для ошибки оценки в виде £„(«) = x(t - п) - x(t - п) =(4.2е6) = x(f - п) + V ?x(f - (4.277) 11=0 для 0<н<Л; 1, где Wk является к-м элементом /V-мерного весового вект.о-ра WM3, а индекс * обозначает операцию комплексного сопряжения. Максри-мизации подлежит энтропия (неопределенность) процесса остаточной ошигб-ки с„ (г) путем соответствующего выбора вектора W. Предположим, что х (г?) моделируется в виде процесса авторегрессии, формируемого с помощь: >ю 70 к = 0 фильтра из белого шума tn (t), с дисперсией оэ = [ln R 1 (е) 1п ] 1. В результате z -преобразования (4.27) примет вид (4.28) (4.29) (4.30) E<z)=*-"i z"-kX(z); (WK=\), En(z)=A„{z)X(z). Тогда соответствующая оценка спектра мощности по максимуму энтропии для х (t) будет определяться выражением ода !У 1 =(4.з1) \Ax(z~l)\2 z=eJw [}„ЩеГ ч„] 1 IWgDMI2 \\„ш 1dmi (4.32) (4.33) Выражение для определения А:-го элемента вектора D(co) имеет вид (1к(ю) = ехр [ -jco(rc - к)А],(434) где при анализе частотного спектра со=2я/. Для пространственного спектрального анализа (4.34) принимает форму dk(w) = схр [ -jco(n - кЩ,(4.35) где d - расстояние между равномерно распределенными в пространстве элементами антенной решетки; со = 27r/cos ф/с). Заметим, что процесс оценки спектра мощности по методу МЭ не может быть реализован без временной задержки на п выборочных отсчетов. Это обусловлено особенностью процесса формирования сигнала, что иллюстрируется рис. 4.2. Член z-i представляет операцию единичной задержки, которая является реализуемой, а член z - операцию единичного опережения, которая не может быть реализована без осуществления задержки. Действительно, временная задержка неявно присутствует при реализации метода МЭ, при котором требуется, чтобы оценивание матрицы R(e) I производилось с задержкой для обеспечения усреднения по времени. Заключительный этап сводится к подстановке модифицированной ковариационной матрицы (4.11 б) в соотношение (4.33), в результате чего получается 71 en(t)  Рис. 4.2. Структура нереализуемого фильтра 1 Ф, е) (4.36) ii- %ь{к,е)1пмкмкт)2 1 к= 1 Модифицированный (с подчеркиванием основных мод) вариант (4.36) получается в виде ммэесли финять b(k,e) = 1. Теперь можно обобщить применение оценок Рмд (0) и Рмэ (В) на более общий вид вектора сигнала D(6). Очевидно, чтобы значение РМэ(6) было оценкой частотного спектра (пространственного спектра), необходим постоянный интервал дискретизации Д (d). Тем не менее зто не исключает использования в общем случае процедуры (4.24) для получения вектора фильтра WM3, обеспечивающего среднюю квадратическую оценку xn(t). Более того, выражение (4.32) вполне пригодно в качестве меры ортогональности между WM3 и D(oj). Этот критерий проверки степени ортогональности оказывается полезным как при равномерной дискретизации с линейной зависимостью преобразуемой переменной, так и при неравномерной. Неравномерная дискретизация такого типа может привести к квадратичной зависимости преобразуемой переменной, как, например, при анализе дальности. Для иллюстрации сказанного рассмотрим простой случай, когда К=]. Нетрудно показать, что в этом случае Mx = D(Q0)/\ \L Подставляя это выражение в (4.36), получаем оценку РмЭ(0) = „1гГ. ) 1 12(437) ,ylI-D(eo)D(0o(e)j которая принимает наибольшее значение пси 0 стремится к бесконечности коша 0-0 Р 0 Ш самом «™е (4.37) если Ml, е)= ,). это объя« гем° ™Тмо<а М излученияССЯ тем чго в учае одиночного источника -D(e0)D(e0rJ = R(ccr-(438) и при 6 =В0 нетрудно видеть, что вектор сигнала D(0O) находится в нулевом пространстве матрицы R(oo) обусловливая бесконечную величину отклика в оценке спектра мощности. 4.4. РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ Разрешающую способность процедур, основанных на критериях МД и МЭ, можно проанализировать при большом ОСЫ и продолжительном времени усреднения Г, используя выражение (4.10) для оцененной корреляционной матрицы данных. Для одиночного источника гауссовского сигнала при ОСШ =с модифицированная ковариационная матрица будет определяться выражением R(e) = «cD(fl())D(B0) + lN .(4.39) Здесь параметр 80 в зависимости от области применения будет равен частоте сигнала (/), волновому числу (к) или дальности (г). На базе процедур, приведенных в [1,26], можно измерить ширину пика спектральной оценки по уровню 3 дБ для одиночного сигнала, принимаемого на фоне белого шума. Значение 5, при котором -р--= °>5 »(4-40 а) мм; определяется как ширина отклика по уровню 3 дБ для модифицированных процедур МД и МЭ соответственно. Третья оценка Рмо Uv + 0/2)] = D[fJ0 + (d/2)JR(e)D[0o + (6/2)](4.41) называется модифицированной обычной оценкой спектра. Выражение (4.41) получается в результате равномерного взвешивания данных: РмоГА, + №Г] = Е{\ D[tfc + (S/2)Jx(t)\2: е)(4.42) Ширина отклика по уровню ЗдБ рассмотренных оценок спектра представлена в табл. 4.1. Результаты измерения дальности относятся к трехэлементной антенной решетке (N=3) с одинаковым межэлементным расстоянием d для анализа как волновых чисел, так и дальности. Ширина отклика 5 используется здесь в качестве параметра, характеризующего разрешающую способность метода спектрального анализа для разрешения двух близко расположенных спектральных составляющих одинаковой интенсивности. Для одного сигнала в присутствии некорреляционного шума ни один из способов обработки, базирующихся на критериях МД и МЭ, не может дать лучшей (в смысле минимума дисперсии) оценки частоты сигнала (волнового числа, дальности), чем та, которая обеспечивается обычным преобразованием Фурье. В действительности при одном сигнале и ограниченном времени усреднения методы с высокой разрешающей способностью могут давать большую дисперсию оценки, чем обычная оценка Бартлетта [1]. Только в 73
случае многих сигналов методы ММД и ММЭ более эффективны, поскольку благодаря улучшению разрешающей способности уменьшается составляющая суммарной средней квадратической ошибки, обусловленная смещением. Эти положения иллюстрируются примером в последнем разделе главы. Наконец, следует отметить зависимость параметра 5 от ОСШ=д для каждого из трех указанных методов спектрального анализа. Ширина отклика б при обычном методе обработки не зависит от ОСШ, тогда как при использовании критериев МД и МЭ значение этого параметра изменяется обратно пропорционально V ОСШ или ОСШ соответственно. 4.5. ВЫЧИСЛЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННЫХ СПЕКТРАЛЬНЫХ ОЦЕНОК Возможны два подхода к реализации устройств оценки, основанных на использовании модифицированных критериев минимума дисперсии и максимума энтропии [27]. Первый из них базируется на стохастическом градиентном алгоритме поиска для адаптивной оценки К наибольших собствен-74 ных значений и соответствующих собственных векторов. При этом подходе выходные функции "модального" фильтра yk(t) = Mk(t)x(t),к = 1,2,... ,К,(4.43) используются с целью максимизации среднего значения оценки собственного числа [8]: yk(t) 2 = Mk(t)\(t)x(t)Mk .(4.44) Это достигается подстройкой оценки собственного вектора в момент времени г, т.е. Mk(t), где Л = 1, 2.....К, для максимизации (4.44) с учетом ограничений, обусловленных ортогональностью: MUf)Mm(f) = bkm ,l<k,m<K,(4.45) и нормированностью: M,(f)2 = 1, 1 <k <К.(4.46) Этот подход по вычислительной сложности предпочтительнее второго (о котором будет сказано далее), поскольку как объем памяти, так и число операций умножения-суммирования пропорционально только произведению NK. Однако эффективность устройства такого градиентного поиска существенно ухудшается с уменьшением ОСШ, что можно объяснить шумом в цепи обратной связи. При втором подходе осуществляется прямое вычисление оценки (4.9) ковариационной матрицы данных R. Используя одну из известных программ (например, EIGCH [19]), можно определить все N собственных векторов и собственных значений матрицы R. С другой стороны, поскольку размерность N может быть большой (а размерность пространства сигналов К обычно меньше N), численными методами можно получать только первые К собственных значений и собственных векторов R. Тем не менее объем памяти и вычислительная сложность растут пропорционально N7. В качестве одной из вариаций метода прямых вычислений оценка R может определяться по формуле (4.12). Оценка диагонального элемента о21Л; может быть получена, а затем вычтена из матрицы R(<). В результате матрица Р(с) = R a2lN(4.47) может быть разложена по методу Холецкого. Такое разложение использовалось в выражении (4.13), которое, в свою очередь, применялось при оценке спектра на основе критериев МД и МЭ в виде R(e =оо)-1 = -Lp СЧССГС].(4.48) о Хотя процедура несложна, возникают определенные трудности при оценке и вычитании диагональной матрицы o2lN. Один из алгоритмов, реализующих указанную процедуру, приведен в [18]; согласно этому алгоритму 0 ... 8 9 10 11 12 13 14 ... 78
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
