    
Раздел: Документация
0 ... 124 125 126 127 128 129 130 ... 162 Следствие 48.1. Доверительный интервал с надежностью у для М{1) равен (2--™==(] + т, Z+~™=-/ + 7)(48Л) -in-Ъ - Ып-5 -j- оа1„„„1+1 где -квантиль уровнястандартного закона. Доказательство. В силу теоремы 48.2 с. в. (Z - М(2у)п-Ъ имеет распределение, близкое к стандартному, так как M{Z)-M(Z) п1 M(iZ -M(Z))V) == о, ад = -L. Отсюда по лемме 46.1 P{\Z-M{Z}\i<t] + 1) = y, P{\M(Zy-Z\<-=L=tl) = y, -Vn-3 - ill+ Y P(Z- -7=== < A/(Z) < Z += у . Следствие доказано. Поскольку th(M(Z)) = thln--i--) = где th(x)= " е д - гиперболи- 2 \-/>e* + e * ческий тангенс, то, заменив в (48.1) с. в, R ее выборочной характеристикой г, получим приближенные границы для р (с надежностью у): , Л, 1 + г I..,1, 1 + г 1 -гТ)<р<Ш(2п-Г7+-у1;) 2 1-г22 На практике часто предпосылки корреляционного анализа могут нарушаться; одна из величин X, Y оказывается величиной не случайной, или двумерная с в. (X, У) не имеет нормального распределения. Однако статистическая зависимость между X и может сохраняться. Для изучения связи между величинами X и Y в этом случае используется индекс корреляции, который будет определен ниже. Теорема 48.3. D( Y) -- М(М( Y\X) - М( Y))2 + М( Y -М( УХ))2(48.2) Доказательство. Доказательство проведем для непрерывной с. в. (X, Y), для дискретных с.в. рассуждения аналогичны. Итак, D(Y) - M(Y- M(Y)}~ ~ M{(M(Y\X) ~M(Y)) + (Y-M(Y\X))f = M(M(Y\X) - M{Y)f + M(Y- M(Y\X)f+2M((M(Y\X) -M(Y))(Y-- M(Y]X))). Очевидно, теорема будет доказана, если мы покажем, что последнее слагаемое равно нулю. Для этого воспользуемся определением математического ожидания и условной плотности; М({М(У\Х) - М(Г))(У-ЩУ\Ш = j \(Mftx)-M(Y))(y- М(У\ x)Mx,y)dxdy = =M(Y\x) - M(Y\x)-l = 0 (см. гл. 43). Теорема доказана. Таким образом, дисперсия с. в. У разложена на две составляющие. Первое слагаемое в (48.2) измеряет влияние с. в. Хна св. У , поскольку характеризует разброс условного математического ожиданияотносительно среднего случайной величины У. Второе слагаемое в (48.2) измеряет влияние прочих факторов на с. в. У, поскольку характеризует разброс этой случайной величины относительно условного математического ожидания У по X. ("Определение ) Величина р}!-х= М(М(У]Х)-M(Y)) ID{Указывается индексом корреляции УпоХ. Индекс корреляции X по У определяется аналогично. Из соотношения (48.2) следует, что 0 <р < 1 . Кроме того, при рк - 1 отсутствует влияние прочих факторов, и между У и X существует функциональная зависимость; при =0 корреляционная связь между У и X отсутствует. Можно также показать, что р2 <р,Г- Кроме того, справедливо следующее утверждение. Теорема 48.4. Если двумерная с. в. (X, Y) распределена по нормальному закону с параметрамир, то р2 Доказательство. Согласно теореме 44.3 (ЩУ х) - М(К))Ф (х)( (у -М(У\ х))ф(>> x)dy)dx. А внутренний интеграл равен нулю, так как уц>{у\ x)dy - М(Х хЫу x)dy =M{Y \ x) -M(Y \ x)\<${y \ x)dy M(Y\X)=av+p(X-at). Отсюда  (X - Следовательно M{pZjL{X~ax))  M{X~ax)2=p2 Теорема доказана. Ввиду теоремы 48.4 расхождение между р2 и может быть использовано для проверки предположения о нормальности распределения двумерной с. в. (X, У). Однако, для определения оценки индекса корреляции необходимо знать регрессию, что при нарушении предположения о нормальности распределения с. в. (X, У) весьма проблематично. В подобных ситуациях, при наличии сгруппированных статистических данных, используются выборочные индексы корреляции и где >т, -у)2г, £/Л Is] тт= --j-•, ут,~-,/=!,...,т, 4j>--~-=-> хтк=~-,к = \,...,п Is;с к Линия на координатной плоскости Оху, соединяющая последовательно точки (х,, ут,), /= 1,..., т, называется эмпирической линией регрессии Упох. Аналогично определяется эмпирическая линия регрессии X по у. Компьютерный раздел Подпанель Калькулятор (Calculator), изображенная на рис. 48.1, вызывается кноп- встроенной функции извлечения квадратного панели Math. Шаблон корня вызывается кнопкой [Г] подпанели Калькулятор (Calculator), шаблон К0 встроенной функции логарифма по основанию е -кнопкой Jnj. Если вначале введено алгебраическое выражение, из которого предполагается извлечь квадратный корень, то можно воспользоваться клавишей предварительно выделив слева все выражение синим курсором ввода. Кояьнулятор{
Рис. 48.1. Подпанель Калькулятор 0 ... 124 125 126 127 128 129 130 ... 162 |
