Раздел: Документация
0 ... 127 128 129 130 131 132 133 ... 162 find [ Глава 49 Модели парной регрессии В экономических исследованиях имеющиеся данные очень часто нельзя считать вы- боркой из двумерной генеральной совокупности: например, в тех случаях, когда одна из рассматриваемых переменных не является случайной. Такая односторонняя зависимость случайной зависимой величины У от одной (парная регрессия) или нескольких (множественная регрессия) неслучайных независимых переменных рассматривается в регрессионном анализе. Парная регрессионная модель может быть представлена в виде где Уд.- зависимая случайная величина, <р(х) - функция регрессии, х - неслучайная переменная (объясняющая переменная), ev - случайная величина, называемая возмущением и характеризующая отклонениеот функции регрессии Основные допущения регрессионного анализа: при любом х возмущение £t распределено по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и независящей от х дисперсией (называемой остаточной и обозначаемой ст*); для любых различных х иг с. в. е, иг, независимы. Из этих допущений, в частности, следует, что Основная задача регрессионного анализа- выбор вида функции регрессии и статистический анализ ее параметров. Выбор функции регрессии производится на основании опыта предыдущих исследований, литературных источников, других соображений профессионально-теоретического характера, а также визуального наблюдения расположения точек выборки на координатной плоскости. Наиболее часто встречающиеся типы функций: полиномиальныелинейные Ро + Pi*, гиперболические р0 + IV*, логарифмические р0 + Р,/«(х + В2) и т. п. Пусть выбранная функция регрессии содержит ровно независимых параметров В0, рь р,„ ,. Зафиксируем и значений X,, ...,х„ объясняющей переменной х Тогда в качестве оценки параметров.,.,берутся такие величины ... ,ко- торые минимизируют сумму квадратов отклонений значений зависимой с. в. К, от соответствующих значений функции регрессии, равную YJ = Мф (х)) + А/(е,) = ф(х), D{ Yx) ==D( у (x)) + D(e*)= с]. £(K -Ф(хг))2. Если теперь (хиУц ),..-,fo.JVfвыборка, состоящая из п пар наблюдений, то выборочными оценками параметровбудут числа Ь», 6,,..., bm j, минимизирующие сумму квадратов » В качестве оценки функции регрессии ф (х) берется функция V(x), полученная из ф (х) заменой параметров их оценками, а выборочная функция регрессии v(x) получается из ф (х) заменой параметров соответствующими выборочными оценками. В качестве оценки остаточной дисперсии а берется случайная величина 5° =Х -УМ)2 п-т), а выборочная остаточная дисперсия равна **=1lP*> -vix,))1 j{n-m). В знаменателях указано число степеней свободы п-т, поскольку т степеней свободы теряются при определении т параметров. Обозначим: Г 1 (х-хР2 -4- "7 где х В теории статистики известно следующее утверждение. Теорема 49.1. Для каждого фиксированного х случайная величина У(х) - Ф(*) Sy(x) имеет /-распределение с п-т степенями свободы. Следствие 49.1. Доверительный интервал с надежностью /для функции регрессии <р Нравен где +1 квантиль у Sy(x)) -, н - т /-распределения с п - т степенями свободы. Доказательство см. в задаче Т49.1. Рассмотрим частный случай линейной функции регрессии ф (х) = ро+р,*. лп , п ~(До -РоЬ/г (в,-p,)*(v«-2 Iеорема 49.2. Случайные величины--, --1---, где s; =(х, ~x)l(n-2), имеют /-распределение с п - 2 степенями свободы. Следствие 49.2. Доверительные интервалы с надежностью у для параметров Р„, р, равны соответственно (е0-, s(1+-f£=f)+r ),, V/7-2л/л-2 где Л . ,, - • квантиль уровня + f-раслределенияс и - 2 степенями свободы. « - 22 Доказательство см. в задаче Т49.2. Следствие 49.3. Если параметр р, равен нулю (нулевая гипотеза), где /= {0, 1}, то статистика Bf, имеет /-распределение с п-2 степенями свободы; здесь >о--" > I - ~ Доказательство непосредственно следует из теоремы 49.2. Если в качестве альтернативной гипотезы берется гипотеза Я(= " 0, Ф О", то, согласно общему принципу определения критической области {см. гл. 47) нулевая гипотеза отвергается, если статистика \В,\г,- превосходит квантиль ( a уровня 1-- I-j-, п-22 /-распределения с /7-2 степенями свободы. Таким образом, гипотеза о равенстве нулю параметров или линейной функции регрессии отвергается, если для выборочной оценки bo или Ь\ этого параметра верно Lh I *и-? >/ или I-I - -.я - 2 IMfrV2 >t „ соответственно. уо--,"-2 Компьютерный раздел Встроенные функции line, lysfit, expfit, logfit, pwrfit, sinfit позволяют методом наименьших квадратов определить выборочные параметры линейной, логистической, экспоненциальной, логарифмической, степенной, синусоидальной функций регрессии. Выбор конкретного типа регрессионной функции определяется видом 0 ... 127 128 129 130 131 132 133 ... 162
|
