Раздел: Документация
0 ... 130 131 132 133 134 135 136 ... 162 выборка, состоящая из п наблюдений, то выборочными коэффициентами функции регрессии будут называться числа bQ, b ...,b,„. 1 ,минимизирующие величину \y-Ab\l, где ~ут= (1,..., у)7 bT =(Ь0,...,Ьп1 &. моделях множественной регрессии еще одним допущением является линейная независимость столбцов матрицы А. Поэтому в силу теоремы 8.1 ~b =(АА)~1 Ату. В качестве оценки функции регрессии ф(х) берется функция У(х),полученная из ф заменой коэффициентов соответствующими оценками. Выборочная функция регрессии v(.v) получается из ф(х) заменой коэффициентов соответствующими выборочными коэффициентами. Оценкой остаточной дисперсии ст=£>(е7) является св. г \y-AB? =--, где /Зт = (В0, В]авыборочной остаточной дисперсией и - ill - л j \У-АЬ2 является величина s0 =--п - 111 Обозначим через КО,к ковариацию оценок В, и Вк: KOik = М((В,- Pj)(St- рфвиду несмещенности оценок А7(5,) = р„ М(Вк) = р). Очевидно, что A0,-,=D(B,). С Определение) Ковариационной матрицей рассматриваемой регрессионной модели называется квадратная матрица КО порядка т, на позиции (i, к) которой находится число КО,к, У=0, т-1, к = 0.....т- 1 (в матрице КО нумерацию строк и столбцов удобно начинать с нуля). Очевидно, КО= М((В-$)(В -~Р)Т). Теорема 50.1. КО =ага(А"А)~\ Доказательство теоремы дано в задаче Т50.1. Ввиду теоремы 50.1 в качестве оценки ковариационной матрицы берется случайная матрица Sl(AА)~\ матрица s*(AAy называется выборочной ковариационной матрицей. В теории статистики известен следующий аналог теоремы 49.2. Теорема 50.2. Случайные величины--jCi--, где /= 1, ...,т- 1, (AJA)j - (i + 1)-й элемент главной диагонали матрицы (А7А), имеет /-распределение с п-т степенями свободы. Аналогами следствий 49.2 и 49.3 являются следствия 50.1 и 50.2. Следствие 50.1. Доверительные интервалы с надежностью у для параметров fi, равны соответственно W-SiAUtft . Bi + S0(ATA);iti+y ), /=1,...,«-1, --, п-т-,ii - in где f, - квантиль уровня---/-распределения с и -ш степенями свободы. Следствие 50.2. Если параметр % равен нулю (нулевая гипотеза), где в/ !-т i е {1, 2,т -1}, то статистика у S0(ATА)~ имеет -распределение с п-т степенями свободы. Таким образом, гипотеза о равенстве нулю параметра Р, функции регрессии отвергается (с уровнем значимости а), если для выборочного коэффициента Ь, верно неравенство I Ь. I \(А AY,i ~ 2" где i=\,...,m- 1, t a - квантиль уровня 1 --/-распределения с п-т степенями свободы. Задачи для самостоятельного решения Т50.1. Доказать, что Я -~р = (АГА)~АТЁ, ~(В -р)т = етЛ(ЛМ)~1. Т50.2. Доказать теорему 50.1. Общая формулировка задач К50.1 - К50.13 В задачах К50.1 -К50.13 на основе выборочных данных, содержащихся в таблицах, построить выборочные функции регрессии; на уровне значимости 0.05 проверить гипотезы о равенстве нулю коэффициентов функций регрессии и построить для них доверительные интервалы с надежностью 0.95. В табл. SO. 1-50.10 содержатся данные о производительности труда шахтеров (т) в зависимости от мощности пласта шахты (м) и уровня механизации работ (%), характеризующие процесс добычи угля в шахтах. К50.1. Таблица. 50.1
К50.2. Таблица. 50.2
К50.5. Таблица. 50.6
0 ... 130 131 132 133 134 135 136 ... 162
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
