Раздел: Документация
0 ... 25 26 27 28 29 30 31 ... 162 Глава 12%$n=i find Прямые и плоскости в n-мерном точечном пространстве и-мерной точкой называется упорядоченный набор М = (пц, тг,..., т,)и действительных чисел т,, т,„ обозначаемых координатами точки А/. Множество всех п-мерных точек называется «-мерным точечным пространством Af, если любым двум точкам А= (а\, а„) и В =/>„) из Afставится в соответствие вектор АВ = (b[ - аь 6„ из R" (с началом в точке Л и с концом в точке В). Символически эту связь будем изображать так: В=А+~7в. Расстоянием между А и В называется длина вектора J АВ\=(а-/>()2+ ... + (а„ -Ь„)] Прямой в пространстве Af, проходящей через точку Л = [а\.....ап) параллельно ненулевому вектору р- (ph ...,р„), называется множество всех точек Х= (х\, х„) вида X=A + t/где t- любое число. Вектор р называется направляющим вектором прямой. Покоординатно это можно записать так: х, = я, + tp\ х„ = а„ + tp„ или --L = --L=... =--.Последняя запись чисто символическая, ибо некото- Р\Р2Р* х - Cf х - CI рые из координат вектора р могут равняться нулю. Например,---=--озна- чает, что - = - -мерной плоскостью в пространстве Af\ проходящей через точку А = (аi я„) параллельно к линейно независимым векторам р,, рг,..., pt из R называется множество всех точек XвидаХ=Л + ttp~ +t2p\+... + ttpt". где t2, - произвольные числа. Очевидно, что прямая- это одномерная плоскость.(п- 1)-мерные плоскости называются гиперплоскостями в Af. Теорема 12.1. Множество точек Х=(хь...,х„) пространства Af является гиперплоскостью, если и только если координаты каждой точки этого множества удовлетворяют некоторому линейному уравнению вида: ±11*1 + Я2Х2 + ...+ а,х„ + b = 0,(12.1) где в, аг, а„, Ь-константы и не все at,a2,..., а„ равны нулю. Доказательство. Рассмотрим произвольную гиперплоскость Х-М +!2~Р2+ + »-Ри-1" где М - (mm?, in,,}, Д, р.. . , р~ , - система линейно независимых векторов из R". Тогда, обозначив р„ = MX , получим Д. <i/>l +iP2 + •" +t»-\Pn-: • Это равенство означает, в частности, линейную зависимость системы векторов р~\,р2,..7, р., Обозначим через В квадратную матрицу, i-я строка которой совпадает с рТак как В вырожденная матрица, то по следствию 7.1 \В\ = 0. Разложим этот определитель по последней строке (х, -/Hi, хп-нк ......y„ - m„): (л-, -mi)/?,,] + (*2~"2)В„+-+ (х,, - т„)В„}= 0,(12.2) где /?,,, ..../?„„ - алгебраические дополнения соответственно элементовх,- nii..... хп-т„. Если В„\~ В„2~ В„„ - 0. то из (12.2) следует, что \В\ = 0 независимо от того, какая в матрице В п-я строка. Но, если в В эту строку заменить вектором z , при котором система векторовлинейно независима (такой вектор существует- см. следствие 5.2 и задачу Т5.7), то определитель новой матрицы будет уже отличен от нуля в силу следствия 7.1. Поэтому не все В„\, Bll2, В„„ равны нулю. Итак, обозначив а, = Я„„ i = I, ...,/7, Ь=- (т,В,л + ...+ /л,Д,„), изполучим равенство (12.1). Теперь докажем, что множество всех точек, координаты которых (12,1), является гиперплоскостью. Обозначим а = (а,,...,«„). В силу следствия 5.2 и утверждения задачи Т5.7 вектор можно последовательно дополнить векторами А./>2т--,/-ДО базиса в R" такого, что р будет ортогонален с а, р, будет ортогонален с ,3,Возьмем произвольную точку M = (/Hb"ii тп), координаты которой удовлетворяют (12.1). Такая точка всегда существует: если, к примеру, Л 0, то в .качестве М можно было бы взять точку {-i/0ip,0). Гиперплоскость Х=ММ\ р, +12р2 + ... +/вИд, , -искомая. Действительно, домножим обе части равенства MX t\+... +скалярно на вектор а : [а~MX] = /][я-/3] + ...+ tllA[a "/Vi] .Так как [а •/>,] = 0 , то [5-AA?] = 0. Отсюда ol(X-m,)+ ...+а„(х„-т„) = 0, «,х, + ...+ an-{a\irtf ...+ + ад,) = О, a,xt + ...+ а,х„+ Ь = 0. Теорема доказана. Задачи для самостоятельного решения Т12.1. Доказать: для любых трех точек А, В, С, принадлежащих А/\ ~В+~ВС =~АС ; АВ = -ВА ; АВ~§, если и только если Л =5. Т12.2. Доказать, что для любой А:-мерной плоскости в пространстве Af верно k< п . 0 ... 25 26 27 28 29 30 31 ... 162
|
