    
Раздел: Документация
0 ... 27 28 29 30 31 32 33 ... 162 Так как точки Л, В, С, не лежат на одной прямой, то прямые, проходящие через точку А имеющие направляющие векторы и не совпадают и, следовательно, векторы инезависимы (см. задачуПоэтому искомая плоскость должна проходить через точку параллельно двумнезависимым векторам и Д.. По определению множество всех ее точек имеет вид Д +где произвольные числа. При доказательстве теоремы 12.1 было показано, что уравнение такой плоскости может быть определено в виде \D\ - 0, где матрица, строки которой совпадают с векторами Д , р, и (х - a\,y-a2b z- Следствие доказано. Задачи для самостоятельного решения Т13.1. Доказать следствие 13.2. Т13.2. Доказать, что если плоскость пересекает оси координат O.v, Ov. Oz в точках (а, 0, 0), (0, />, 0), (0, 0, с) u tfO, /??ь0\ с*0\ то се уравнение можно записать в виде a b с Т13.3. Доказать, что уравнение прямой в пространстве, проходящей через две данные точкиможно записать в виде: х - я, у - о, = - я, t\ - «, Ьг - а, Ьг - tf3 Т13.4. Пусть две плоскости заданы уравнениями а\Х+ Ь$!+ С\%+ d\ =0 и +0. Доказать, что они перпендикулярны, если и только если «iff2 + b,b2+ CfC2 =0. Т13.5. Пусть две плоскости заданы уравнениями atx + Ь\у + C\Z + d\ 0 и + + + 0. Доказать, что они параллельны, если и только если существует такое число а, что -== Пусть две прямые на плоскости заданы уравнениями + -г 0 и + + = 0. Доказать, что косинус угла между ними равен: д,й, +lxb, a,2 + Л,: i/ я? + A,1 Т13.7. Сформулировать и доказать утверждения для прямых на плоскости, аналогичные утверждениям задач Т13.2, TI3.3, Т13.4, Т13.5. В задачахданы координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: длину ребра угол между ребрами АВуравнение прямой уравнение плоскости уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань П13.1. А = (1, -К 2), й -(2, -1, 3), С-=(1, 3, -1), D = (2, 0, -2). П13.2. А = (0, -2, 5), В = (6, 6, О), С= (3, -3, 6), 2) = (2,-1, 3). П13.3. А = (4, 5, -3), В = (6, 3, 0), С =(8, 5,-9),D = (-3, -2, -10). П13.4. А = (5, -6, 2), В = (2,-1,3), С = (1,9, -1), D= (2,-1, -2). П13.5. А = (-5, 6, 2), В= (8,-1,3), С = (2, 1, -1), £> = (3,-1,-4). П13.6.Л = (-1, 1,2), б =(8,-1, 1),С = (2, 1,-!),£> = (-3,-1,1). Ш3.7./1 = (-1,1, 1), б = (1,-1, I), С = (2,2,2), D= (-3,-1, 2). П13.8.Л = (-1,2, I), В = (3,-3, 3), С =(2, 1,2), О = (-3, 1,2). П13.9. /1 = (-1,2, 1), В = (4,-3, 3), С = (5,1, 2), D = (0, 1,2). П13.10. А - (-4, 3, 1), В = (4,-5,3), С = (5, 1,6), D = (О, 1,3). П13.11. А =Н1, 4, 1), В = (4,-6, 0), С=(9, 1, 0), D = (-5, 2, 3). П13.12. А = (7, 7, 3), В =(6, 5, 8), С = (3, 5, 8), D = (8, 4, 1). П13.13. А = (-7, 7, -3),В = (6, 5, -8), С = (3, -5, 8), D = (-8, 4, 1). П13.14. (10, 6, 6), В (-2, 8, 2), С (6, 8, 9), D (7, 10, 3). П13.15. А = (2, 1, 4), В = (-1, 5, -2), С = (-7, -3, 2), D = (-6, 3, 6). 1113.16. А = (8, 6, 4), б = (5, 7, 7), С = (5, 3, 1),£> = (2, 3, 7). П13.17..4= (-7, 1,-3), 0= (6,15,-8), С= (4, 5,2), D = (2,4, 1). П13.18.Л = (О, -1,-1), б= (-2, 3, 5), С=(1, -5, -9), D = (-1,-6, 3). П13.19. А = (-4, 2, 6), б =(2, 2, 1), С =(-1,0, I), С= (-4, 6, -3). П13.20. Л = (-1 ,5, 1), В = (0, 4, 8), С= (2,-1, 7), О = (4, 0, 1). П13.21.Л = (1,-3, 2), 5= (2, -1,-1),С= (3,-4,3), D = (3, 4, 5). Ответы, указания, решения Т13.1. Пусть Р = (X, yi, 3) иС;- fc,A, z2)-две различные точки плоскости. Из этого следует, что ох-\ + by\ + cz\ + d= 0, axi + by2+ cz2 + d = 0. Вычтем первое равенство из второго: ofo-xi) + Ыу1-у{) +c{z2-z0 = 0. Последнее равенство можно записать в виде [Я • PQ] = 0 , а это означает ортогональность векторов я и PQ , Поскольку точки Р и Q взяты произвольно, то вектор h перпендикулярен плоскости. Аналогично доказывается и второе утверждение следствия, Т13.2. Воспользуемся следствием 13.3: искомое уравнение можно записать в виде -ah О -а 0 с = 0 . Разложив определитель по последней строке, получим: х~а у z (х-а)
о, (x-a)bc + уас + zah = 0. х У - Разделим это равенство на abc: "--1 + - + -= 0, что и требовалось доказать. a be Т13.3. Указание: направляющим вектором искомой прямой будет вектор - Т13.4. Две плоскости -перпендикулярны, если и только если перпендикулярны их нормальные векторы «, = (ct\, Ь\, С\) и пг - (а2, b2, с2), а это в свою очередь равносильно равенству нулю их скалярного произведения. TI3.5. Две плоскости параллельны, если и только если параллельны их нормальные векторы л, -иа это в свою очередь равносильно линейной зависимости векторов я, и Т13.6. Угол между прямыми равен углу между их нормальными векторами я, = (tf, b\) и~~п~- (а2,Ь2). Косинус угла между векторами «, и й2 равен 1«. Щ \ П13.21. Длина ребра ав равна длине вектора Т = (2-1, -1+3.-1-2) = (1, 2,-3): H/J=Vl+4+9 =л/Й. Прямые АВ и AD имеют направляющие векторы АВ= (I, 2 ,-3) и AD (2, 7, 3) соответственно. Поэтому косинус угла между АВ и AD равен косинусу угла между векто- -\AB-~AD\ 2 + 14-97 Ая\\АЬ\ рами АВ и AD , т. е. -=5---р= /4 + 49 + 9 7ил/б2 и, следовательно, угол равен arcos(7/V14 • 62 ). Так как прямая АВ проходит через точку А параллельно вектору АВ= (1, 2, -3), то ее уравнение можно записать в виде х-\ у + 3 г-2 1 ~ 2 ~ -3 0 ... 27 28 29 30 31 32 33 ... 162 |
