Раздел: Документация
0 ... 29 30 31 32 33 34 35 ... 162 £2) = 1, if > 0 , /(,2)1....А,у = 1....да- Тогда: i-ij-xm = £(u?>+(1 - \№)в,++(1 - юОр; . £(u(,"+(i - я.)*,1) = и;1 + о - = я. i+о - м i = и что доказывает принадлежность точки D многогранной области G. ( Определение*;) Точка А из выпуклого множества G называется крайней точкой в G, если множество G\{A), полученное из G удалением Л, остается выпуклым. Крайние точки многогранной области принято называть вершинами. Теорема 14.1. Множество всех вершин любого многогранника не пусто и конечно, а также является порождающей системой точек для этого многогранника, т. е. многогранник состоит из всех выпуклых комбинаций своих вершин. Гиперплоскость (12.1) порождает два множества точек в Af", называемых полупространствами и состоящих соответственно из всех точек, удовлетворяющих неравен-ствамарс, + ...+ ад, + Ь <0и ахх\ + ...+ a,x„+ b>0. Определение Полиэдром в пространстве" называется множество точек, являющееся пересечением конечного числа полупространств и гиперплоскостей. Следующая теорема является фундаментальным утверждением теории полиэдров. Теорема 14.2. Многогранная область - это полиэдр, и каждый полиэдр является многогранной областью. Многогранник- это ограниченный полиэдр, и каждый ограниченный полиэдр является многогранником. Задачи для самостоятельного решения Т14.1. Доказать, что отрезок, соединяющий точки Л и 5, совпадает с множеством точек вида А + tAB, где /-любое число из [0; 1] (точки отрезка, отличные от А и В, называются внутренними). Т14.2. Доказать, что точка является крайней точкой некоторого выпуклого множества G, если и только если она не является внутренней точкой никакого отрезка, принадлежащего G. Т14.3. Найти все крайние точки в следующих множествах точек пространства Af: круга, многоугольника, прямой. Т14.4. Доказать, что любой полиэдр является пересечением конечного числа полупространств. Доказать утверждение Т14.6. Пусть на плоскости А/ дана прямоугольная система координат. Определить вид многогранных областей, порожденных следующими системами точек Р из Af~ и векторов Vиз R~: а)/5 - {(0,0)}, У= {(0, 1), (1,0)}; б) /={(1,0), (0,1)}, К={(1,1)}; в)/>=КО,0)Д].ОХ(0,])},е={(1,0)}; г)/> = {(0, 0)}, К= {(0, 1), (0,-1)}; д) Р = {(0, О», К= {(0, 1), (1, 0), (-1, -Y)}. Ответы, указания, решения Т14.1. Пусть С- произвольная точка отрезка, соединяющего точки А и В. Тогда, с одной стороны, С=([-А)А + ЛВдля некоторого [0; 1] или С~А + k(B~ А}= A +X АВ. С другой стороны, + t = А-t) + tB, Т14.2. Указание: воспользоваться определением крайней точки. TI4.3. Ответы; граница круга (окружность); вершины многогранника; нет крайних точек. Т14.4. Указание: утверждение следует из того, что любая гиперплоскость есть пересечение двух полупространств, которые эта гиперплоскость порождает. TI4.5. Прежде всего докажем, что для любых двух векторов a, b е Гверно \a + b\<\fl\"+ \b \ (это неравенство с очевидностью распространяется на любую конечную сумму векторов). Итак, ( 5 + b \)2 <}ci\ 2+2 [а b \ + \Ь\г, откуда [d-5] + 2[a-b] + [b-b]<\a\2 +2\5\\b\ + \b f , [a~b]<.\a\\"b \, а последнее неравенство следует из теоремы 1.2. Поскольку все переходы эквивалентны, то нужное неравенство доказано. Обозначим через О = (0,.... 0) нулевую точку в Л/"- Заметим, что А= А ~ О = Ш . Поэтому любую точку А можно отождествить с вектором ОА . Рассмотрим произвольный многогранник G с множеством вершин {В,, .....Вк). Выберем вершину В„, такую, что длина вектора ОВ„, наибольшая. Рассмотрим произвольную точку С из G. Тогда 0=A.jtf +.,.+ hBk, 1,>0, £А.,= 1 или ОС =X\OB\+..Xi,OBk , откуда j ОС \ < к\\ОВ\\+...\\\ OBi. < Я ОВ,„ \ + ОВ,„\ + +.. .+кь\~0~В,п = (к\ + ... + A.t)ZTfi» = ХОВ„ , т. е. расстояние между точками О и С ограничено величиной \ ОВ„ . Итак, доказано, что любой многогранник является ограниченной многогранной областью. Покажем теперь, что любая ограниченная многогранная область G (порожденная системами точек Р и векторов V) является многогранником. Выберем произвольную точку А из Р и произвольный ненулевой вектор / из К Тогда для любого / 0 верно А + I р ей Если /-я координата вектора р отлична от нуля, то всегда можно выбрать такое t\ >0, что модуль /-Й координаты вектора ОА + Цр будет больше любого заданного числа г, т.е. \ОА + Гр\>г. Последнее означает неограниченность множества G. Получено противоречие. Таким образом, система V может состоять только из нулевого вектора или быть пустой. Но в этом случае из определения следует, что G - многогранник. Т14.6. Ответы: а) первый квадрант; б) часть первого квадранта, ограниченная прямыми у = ~х + I, у= х+ I, у = .v - в) часть первого квадранта, ограниченная прямыми .у = 0, х = 0, у = 1; г) прямая 0; д) Af2. 0 ... 29 30 31 32 33 34 35 ... 162
|
