Раздел: Документация

0 ... 30 31 32 33 34 35 36 ... 162

Глава 15%r:=±J

find

Общая задача условной оптимизации

Пусть задана функция J{xu х2, .*„), называемая целевой, которая определена на множестве точек X<zAf", называемых планами функции/ Задача условной оптимизации заключается в поиске такого планадля которого значение является наименьшим или наибольшим (в зависимости от того, какая задача, на минимум или на максимум, решается) среди всех значений функции/на множестве X. План называется оптимальным планом, а значение ) - оптимальным значением функции.

Вид целевой функции и способы задания ее множества планов определяют подходы

к решению соответствующей задачи условной оптимизации, что и будет продемонстрировано в дальнейшем. В данной главе рассмотрим непрерывные целевые функ-определенные на ограниченных замкнутых множествах планов.

Сначала напомним несколько определений, связанных с топологией пространства Af".

крест ью (или просто окрестностью) точкиназывается множество то-

чек из Af, расстояние которых до М меньше е. Занумерованный бесконечный набор точек... пространства Af" называется последовательностью.

Среди точек последовательности не обязательно все различные. Считается, что последовательностьсходится к точкеесли, задав любую сколь угодно

малую окрестность точки М, можно указать такую точку этой последовательности, что все следующие за ней члены последовательности окажутся в заданной окрестности. При этом точка М называется пределом последовательностичто обозначается

С Определение ")

Пусть ХсгЛГТочка MeAf Называется предельной точкой множества X, если любая ее окрестность содержит бесконечное число точек из X. Множество X называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Утверждение 15.1. Любое бесконечное ограниченное множество точек имеет хотя бы одну предельную точку.

Пусть дано множество чисел Y. Если каждое число из К меньше или равно (больше или равно) некоторого числа f, то f называется верхней (нижней) гранью множества Y.

Утверждение 15.2. Если множество чисел ограничено, то оно имеет наименьшую верхнюю грань и наибольшую нижнюю грань.

Отметим, что последовательность точек {М/с} не обязательно является множеством, поскольку может содержать повторяющиеся члены. Поэтому понятия предела и предельной точки не совпадают, даже если в качестве множества Xвзять различные точки последовательности {Мк}. Например, предел последовательности 1, 1, 1, ... равен однако как множество она состоит из одногочисла 1, и поэтому

не может иметь предельных точек. Однако связь между этими понятиями обнаруживается в утверждении 15.3.

Сопределен!)

Точка MeAf"называется граничной точкой множества XcAf"если каждая ее окрестность содержит бесконечное число точек из Хи бесконечное число точек, не принадлежащих X. Точка М называется внутренней точкой множества X, если она входит в Хвместе со всеми точками некоторой своей окрестности. Точка МеХ называется изолированной в множестве X, если некоторая ее е-окрестность не содержит точек из X, отличных от М.

Утверждение 15.3. Пусть даны множествоX<zAfи точка Миз Af. В множестве X существует сходящаяся к М последовательность точек, если и только если М является либо предельной точкой множества X, либо изолированной вХ.

Доказательство утверждения см. в задаче Т15.8.

С Определение"4;

Пусть заданы множество Хс. Af "функция /, определенная в каждой точке этого множества, и точка Мо изХ, являющаяся либо предельной точкой множества X, либо изолированной в X. Функция f называется непрерывной в точке М0 вдольX, если для любой последовательности {Мк} точек изХ, сходящейся к Мо, соответствующая последовательность {f(Mk)} значений функции / сходится к f(Mo). функция /называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой точке множества X вдоль X.

В свете утверждения 15.3 понятно, почему в этом определении точка Мп должна быть либо предельной, либо изолированной. Кроме того, в определении имеется фраза "вдоль X1, которая означает, что непрерывность функции/в точке М0 гарантируется только "со стороны множества А7. Очевидно, если М0 - внутренняя точка множества X, т. е. X "окружает" М0, то фраза "вдоль X в этом случае становится избыточной.

Утверждение 15.4. Всякая функция непрерывна вдоль Xв любой изолированной точке в X.

Доказательство утверждения дано в задаче

Теорема 15.1. Пусть/(х, ...,х„) определена и непрерывна всюду в Af" иДМО. Тогда существует окрестность Мп, В каждой точке которой функция /имеет тот же знак, что и

Доказательство. Пусть, например, ДМ0) < 0. Предположим противное: е„-окрестность точки Ma содержит по меньшей мере одну такую точку М„, что f{M„) >0. Положим, что {е„} 0. Тогда {М„} ->М0. Отсюда в силу определения непрерывности следует {f[M„)} ->j\Mo), т. е. последовательность неотрицательных чисел сходится к отрицательному числу, что невозможно.

Следствие 15.1. Пусть функция g(X, xi-.., х„) определена и непрерывна всюду в Af". Тогда множество всех точек из Af", удовлетворяющих неравенству или уравнению0, замкнуто.

Следствие 15,2. Множество всех точек из Af", удовлетворяющих системе уравнений и нестрогих неравенств, левые и правые части которых представляют собой непрерывные в Af" функции, замкнуто.

Следствие 15.3. Полиэдр является замкнутым множеством. Доказательство следствий см. в задачах Т15.5-Т15.7.

Теорема 15.2. Любая функция/(хь ...,х„), непрерывная на замкнутом ограниченном множестве своих планов X, имеет оптимальные планы.

Доказательство. Определим последовательность {Щ точек из Xследующим образом. Если функция/неограничена на X, то можно указать такую последовательность {Мк\ точек изХ что [f(Mk)\> к, т. е. {ДЛД)}-> ос. Если же/ограничена н&Х, то в силу утверждения 15.2 множество Y всех значений функции / на X имеет наименьшую верхнюю грань а и наибольшую нижнюю грань Ь. Выберем произвольную последовательностьположительных чисел, сходящуюся к нулю. Тогда каждая окрестность числа (числа содержит по меньшей мере одно числоиз Y. Ввиду {et}-> О, (ДЛ4)}-> а ((/{М*)}-> Ь).

Поскольку множество X ограничено, то ограничена и построенная выше последовательностьСледовательно, по утверждению 15.1 множество точек этой последовательности имеет предельную точку принадлежащую X (так как замкнуто). Но тогда, согласно утверждению 15.3, существует сходящаяся к М0 подпоследовательность {Мк,\ последовательности {Мк\. Отсюда в силу непрерывности функции/ {f(Mki }->/(W0) •

Выше было доказано, что либо (ДМ*)}-» °с (если / неограничен*), либо {ДМ*)}->я ({/(jV/j)}-> b). Это же верно и для подпоследовательности, т.е. либо {f(Mk} -> <х>,

либоab). Поэтому остается только одна возможность:

(Ь =ДА/0)).А это означает, что Мо - оптимальная точка для задачи, решаемой на

максимум (на минимум). Теорема доказана.

Задачи

для самостоятельного решения

Т15.1. Доказать, что граничные и внутренние точки в Л являются предельными точками множества X. Верно ли обратное утверждение?

Т15.2. Доказать, что любая предельная точка множества Xявляется либо граничной, либо внутренней точкой множествах, либо изолированной в множестве AfX.

0 ... 30 31 32 33 34 35 36 ... 162