Раздел: Документация
0 ... 26 27 28 29 30 31 32 ... 162 Т12.3. Доказать, что «-мерная плоскость пространства Af совпадает с Af. Т12.4. Даны две прямые А +>/ ,B+~sl в пространстве Af. Доказать, что эти две прямые проходят через одну точку и не совпадают, если и только если £ и s линейно независимы и АВ представим в виде линейной комбинации векторов p,s. Т12.5. Найти точку пересечения двух прямых А+pt И B +st , если Л=(2, I, 1,3, -3), /5 =(2,3, 1, 1,-1), ,б=(1, 1,2, 1,2), f = (1,2, 1,0, 1). Т12.6. Найти точку пересечения двух прямых А + pt и B +~sl , если Л=(3, 1,2, 1,3), р =(1, 0,1, 1, 2), В-(2,2, - 1, - 1, -2), s =(2, 1,0, 1, 1). Ответы, указания, решения Т12.1. Указание: воспользоваться определением вектора, связанного с точками из Af. Т12.2. Указание: воспользоваться следствием 5.4. Т12.3. Воспользоваться следствием 5.5. Т12.4. Вначале отметим следующий факт: две прямые, имеющие общую точку М-{гП\, "Ъ, шя), совпадают, если и только если их направляющие векторы р={р\,...,р„) и s = (si, ...,.s„) линейно зависимы, т.е.""/?=«.Действительно, если х, - т.х - та„ --L =.., = ----уравнение первой Прямой, то после сокращения на а полу-ад-, asn чим уравнение второй прямой. Теперь предположим, что данные в условии прямые имеют общую точку М. Тогда для некоторых чиселоткуда АВ = AM + MB ~l(f> +(- 25 (см. задачу TI2.1), т.е. вектор АВ представим в виде линейной комбинации векторов Обратно, пусть ~А~В= t,p- t7S . Обозначим через Л точку A + й[р а через L - точку B+tJ Тогда AN =1}р, LB= - 1г .Г, AN + LB = ijj -i2s~= AB . Согласно утверждению задачи Т12.1, ~AN + NB = AB. Откуда ~AN ~+~LB =AN ~+~NB , LB~=NB, LB + = 0 , LN =0 , L что и требовалось доказать. Т12.5. Воспользуемся решением задачи Т12.4, согласно которому для нахождения точки пересечения двух данных прямых необходимо решить систему линейных 4 Зак.4221 уравнений АВ = р-относительно переменных t\, t2,где АВ = (-1, 0, 1,-2, 5). Решим ее методом Гаусса:
Поэтому U =-2,h=-3 .Искомая точка М будет равна Л -2 рили В - Зл(см. решение задачи Т12.4), т. е. Л/ = (-2, -5,-1, 1,-1). Т12.6. Ответ: (0, 1,-1, -2,-3).  Глава 13Ir:=2L find Плоскости и прямые в двумерном и трехмерном точечных пространствах Так как гиперплоскость в А/ъ- это обычная плоскость в пространстве, а гиперплоскость в Af~- это обычная прямая на плоскости, то из теоремы \2А непосредственно вытекает следующее утверждение. Следствие 13.1. Множество точек (х,у,:)ъ пространстве является плоскостью, если и только если их координаты удовлетворяют уравнению ах+ by+ cz+ d=Q. в котором не все константы a, Ь, с равны нулю. Множество точек (х, у) на плоскости является прямой, если и только если их координаты удовлетворяют уравнению ах+ Ьу+ с = 0, в котором не все константы a, b равны нулю. С Определение") Любой вектор из R3, перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости. Любой вектор из ft2 перпендикулярный прямой на плоскости, называется нормальным вектором этой прямой. Следствие 13.2. Вектор Я~(а, Ь, с)является нормальным вектором плоскости, заданной уравнением ах + by + cz + d = 0. Вектор Ъ ~-(a,b) является нормальным вектором прямой, заданной уравнением ах + by + с = 0. Доказательство следствия дано в задаче Т13.1. Следствие 13.3. Уравнение плоскости, проходящей через точки А = (а,, а2, а3\ В = (/?!, b2, bi), С= (с,, с2, съ), не лежащие на одной прямой, может быть записано в виде: - о, Ь2- аг Ь. - я. с, -а, с2 -а2с, -а, х-а у-а2 z-ct-s Доказательство . Обозначим р, =АВ= (£>, -щ,Ьг-аг,1-аг)~ рг = АС = (с, -о,,с,-аг-я.,). 0 ... 26 27 28 29 30 31 32 ... 162
|
