Раздел: Документация
0 1 2 3 4 5 6 ... 162 Глава 1. п-мерное векторное пространстводействительныхчисел  Рис, 1.1. Диалоговое окно Вставить Матрицу  [:::] \ х 1 x Ш М<> гГ m..n Рис. 1.2. Панель Математика Рис. 1.3. Подпанель Матрица Задачи для самостоятельного решения ТЫ. Доказать, что длина любого вектора неотрицательна, причем она равна нулю, если и только если этот вектор нулевой. TI.2. Доказать все свойства, сформулированные в теореме 1.1. Т1.3. Доказать, что косинус угла между векторами сГ и Ь равен 1, если один из них равен другому, умноженному на некоторое положительное число. Т1.4. Доказать, что косинус угла между векторами а и b равен -1, если один из них равен другому, умноженному на некоторое отрицательное число. T1.S. Даны два вектора 5 и ) из пространства R". Переставить координаты вектора b так, чтобы косинус угла между векторами d и h был максимальным. Т1.6. Доказать теорему Т1.2. Общая формулировка задач К1.1-К1.11 Даны векторы X И одинаковой размерности, /-я координата вектора х - это размер в млн ДОН. ед. кредита, выданного банком /-Й фирме, /-я координата вектора у - годовая процентная ставка этого кредита. Определить общую сумму кредита; прибыль, которую банк должен получить ПО истечении года за кредиты, выданные фирмам; процент прибыли от общей суммы кредитов. К1.1. х - (1.5, 5.2, 11, 0.7, 3.2, 33.5, 8.5, 6.3); у = (3.8,4.5, 1.7,6,4.7, 12,22.3, 17.3). К1.2. л- = (5.5, 2.1, 21, 2.5, 6.2, 23.7, 9.6, 9.1, 34, 21.6, 33.2, 5.7); у =(2.6, 1.9,5.1, 11.2, 6.8, 22.2, 2.7, 7.9, 13.5,23.5,8.3,8.1). К1.3. х = (5.3, 1.4, 13.2,2.7,4.4, 13.4,28.3,4.2,23.5,6.3, 12.5); у = (8.8, 5.1, 3.8, 9.7, 13.7, 2 1.4, 12.5, 7.7, 8.!, 23.4, 4.6). К1.4. х =(16.5, 25.5, 1.1,2.8, 18.2,45.1, 13.6,5.3,55.1,4.6,2.6,14.5,45.2,23.1); у (7.8, 9.5, 7.7, 16, 4.8, 22, 32.4, 27.5, 1.1, 32.4, 6.3, 8.3, 8.3). 25.2, 31,3.7, 5.2, 23.5, 8.8, 3.3, 17.2,8.2, 11.4,34.1); у = (5.8, 14.5, 11.7, 16,8.7,32,32.7,27.3, 12.4,23.1,31.2,44.6). 9.1, 12,2.3, 13.2,24.5, у (6.8, 4.3, 6.7, 6.5, 14.7, 16.4, 32.5, 27.3, 34.6). К1.7. х = (5.5, 15.4,21.4,3.7,5.2, 13.5,5.3, 13.5,23.4,21.2,6.3); у = (6.3, 8.4, 6.7, 3.4, 9.3, 22.5, 2.3, 6.3, 21.6, 33.2, 12.8). К1.8. х = (33.5, 51.2, 19.3, 7.7, 8.2, 43.5, 28.4, 8.6, 31.3, 42.4, 35.2, 12.5, 3.4, 4.5, 42.1, 2.4, 11.4); у (7.8, 6.4, 3.8, 9.4, 3.2, 22.3, 2.5, 7.3, 4.1, 23.2, 13.5, 24.2, 45.2, 5.6, 7.5, 7.2). К1.9. х = (7.5, 25.1, 1.9, 4.7, 5.2, 23.1. 18.5, 16.3, 23.1, 24.5, 31.2,41.2, 9.3, 1.2); у = (4.8, 6.5, 3.7, 7.6, 8.7, 32.2, 2.3, 7.5, 6.2, 8.2, 23.6, 42.2, 7.2, 8.1). х =(4.2,18.3,2.3, 17.3,34.1); у = (4.8, 6.2, 11.7, 16.2, 8.7, 32.4, 2.3, 7.3, 9.1,21.2). К1.П. х = (14, 81, 76, 300,2.6,2.7, 2.7, 12, 15.7, 121, 98, 123.5, 80, 0.5,0.65, 14,25, 258,2.5,2.5); у = (18, 16, 16, 12, 19, 19, 18, 18, 13, 13, 14, 12,21,22, 12.5, 12, 12.5, 10.5, 18. 18). Ответы, указания, решения Т1.2. Докажем второе, пятое и шестое свойства. Пусть ~ a = (a] д,,..., an), b = (6,, 62,...,£„), ~с =(с1,с2,...,с„). Тогда ja 2 = + а\ +... +Ь~- Яй + а2а2+ ...+ а„а„=[а-а]; а[5-Ь= а(аф\ + афг + ...+ я,Д,) = (aoi)Aj + {ааЬг +...+ (аа„)Ь„ = [a3-ft]; аналогично показывается, что а[5-Ь] = [а aft]Так как а +Е = (a)+bifl2+Ьг,..., а„+Ь„), то [{3 + ft)c] = (я,+ 6])с, + (а2+Й2)с2(а„+,)с„ = ... + =<ЯС + а-2с2+ ,..+ а-„с->1) + + Ь2с2 +...+ ft„c„) = [3-<?] + [ft-c] Т1.3. Предположим, что "а = аЕ и a>0i Тогда "[а"-ft}/ab -ft]= a[ft Й=а \ b 3 , 13 = ай = а 1-1 ft =а£ I . Отсюда --У- = &J Ъ L - i l«!ft aft-ft Т1.5. Будем считать, что координаты вектора а упорядочены в порядке неубывания: а, <а2 < ... < я„. Предположим, что найдутся такие две координаты ft,, bk вектора Ь , что bt>bk при i < к. Тогда яД + яД]< яД + аД. Поэтому перестановке, и йЛ. не приведет к уменьшению скалярного произведения [З-ft] .Это означает, что величина [3-й] примет максимальное значение, если координаты вектора b будут упорядочены по неубыванию. Но перестановка координат не изменяет длин векторов. Поэтому [а-Ь] величина-- максимальна, если координаты вектора b упорядочены по не- \a\-\b\ убыванию. Т1.6. Обозначим через а числои рассмотрим квадрат длины вектора" a - ab : - - - К- - - й -аЕ = [(3 -ab) (а - ab)] = /а -5] + [(-aft) -5] + /а - (-ab)] + + [(-aftH-aft)]3:-a[3.ft]-a[5-ft + a2[ft-ft] = й2 -2a[3-ftfa Вместо а подставим его значение, равное --~ \Ь\2 [3-ft][3-ft] №-Ь\)2\Ь\([й-ft])2 ftf1*12 Последнее число, являясь квадратом длины вектора ~а -a ft должно быть неотрицательным, т.е. 1~я 2aJ>V... >0 , ~ 3 2Е-]2>([3-£])2отсюда I [3" ft]\<\.aE, \ь\2 Теорема доказана. 0 1 2 3 4 5 6 ... 162
|
