Раздел: Документация
0 ... 2 3 4 5 6 7 8 ... 162 Глава 2. Линейно независимые системы векторов О = а,(5, + A3,) + (а2 -kat)а2 +Равносильны, поскольку любое из них вытекает из другого, причем из равенства коэффициентов нулю в одном из них (например, а, =а3=ссэ=... = а, =0) вытекает равенство коэффициентов в другом (а, = ос2 - Асе, = а3 = .... = а, = 0 ). Задачи для самостоятельного решения Т2.1. Доказать, что система векторов, состоящая из единственного ненулевого вектора, линейно независима. Т2.2. Доказать, что система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима. Т2.3. Следующая система векторов называется лестничной: а,ап, я]3, ... ,ап),ап0 а, =(0,0,я3 „ ... , й,„),а„* 0 а„ =(0, 0,0,..., 0, я„„),а„„ *0 Доказать, что лестничная система векторов линейно независима. Т2.4. Доказать, что если число векторов в линейно независимой подсистеме А системы векторов В равно рангу В, то любой вектор из В представим в виде линейной комбинации векторов из А. Т2.5. Доказать, что с помощью элементарных преобразований можно переставить местами любые два вектора системы векторов. Т2.6. Доказать теорему 2.3 для элементарных преобразований типа 1. Ответы, указания, решения Т2.4. Пусть b - произвольный вектор из В. Если "б е А ,то все очевидно. Если Ее А , то система векторов A U {Z>} будет линейно зависимой по определению ранга. Тогда выполняются условия теоремы 2.2, из которой и следует искомое утверждение. Т2.5. Следующая цепочка систем векторов показывает последовательность элементарных преобразований, которые меняют местами векторы а; и а,„ в начальной сис-векторов {ах, ...,ап ...,а,„, ак} ,{а{, ап ...,ат+а,, ...,ак) Глава 3  Матрицы: общие понятия Матрицей М размера тхп называется прямоугольная таблица с т строками и п столбцами, состоящая из чисел, называемых элементами матрицы М. Элемент матрицы, расположенный на пересечении ;-й строки и Л-го столбца обозначается через т,к, будем говорить, что . этот элемент находится на позиции (/, к). Матрица размера пхп называется квадратной матрицей порядка п. Единичной матрицей Е порядка п называется квадратная матрица порядка л, в которой элементы равны 1, i = 1, п, а остальные элементы а,к{1 k, i = 1, ..,,п, к = 1, л) равны 0. Говорят, что элементы a,;, i = 1, и, образуют главную диагональ квадратной матрицы порядка п. Любую строку или столбец матрицы размера можно рассматривать как вектор пространства или соответственно. При необходимости они будут считаться таковыми без особых оговорок. Однако при этом следует различать, является ли вектор а строкой, которая будет называться вектор-строкой, или столбцом, который будет называться вектором-столбцом. Вектор-строка- это матрица размера 1хи,а вектор-столбец - матрица размера т х\. Там, где не будет ясно из контекста, какие векторы имеются в виду, это будет уточняться дополнительно. Операции над матрицами: □сложить (вычесть) две матрицы одинакового размера означает сложить (вычесть) их элементы, стоящие на одинаковых позициях; при этом получится матрица того же размера; умножить матрицу на скаляр означает умножить на это число все элементы матрицы; □транспонировать матрицу М означает преобразовать ее в матрицу Л/т, строки которой являются столбцами матрицы с теми же номерами; □умножить матрицу А размера m х / на матрицу В размера / х п означает получить матрицу С = АВ размера т х «.элемент которой ci(i равен скалярному произведению строки матрицы А и столбца матрицы В, т. е. с,, =дД,+а,6м +...+ а,Ь,, => а.Ьл ( Замечание Для упрощения записи знак умножения в произведении матриц опускается. Теорема 3.1. Пусть A, B,C,D - матрицы, D - квадратная матрица. Тогда (АВ)С =А{ВС), (А + В)С =АС+ ВС, С(А +В)=СА+ СБ, (АВ? = B"A\DE = ED=D при условии, что размеры матриц согласуются во всех операциях сложения и умножения. Докажем последние два утверждения теоремы. Для доказательства равенства матриц (АВ)1 и В7АТ достаточно сравнить их элементы на одинаковых позициях. На позиции (;, к) в матрице В1 AJ находится некоторое число с, равное скалярному произведению /-Й строки матрицы Вт и k-го столбца матрицы /Г . Но /-я строка матрицы 5Т - это /-Й столбец матрицы В, а k-й столбец матрицы А1 - это к-я строка матрицы А. Поэтому число с равно скалярному произведению k-й строки матрицы А и /-го столбца матрицы б, т. е. число с находится на позиции (к, /) матрицы АВ или на позиции (/, к) матрицы {АВ). Свойство доказано. Для доказательства равенства DE = D рассмотрим число d на позиции (i,k) матрицы DE-. если /-я строка в D есть (dlh dQ, din? то d = dnQ + di20 +...+ d,k.,Q + +dlk\ + dik.]0 + ...+ d(„0 = da, так как в к-ом столбце матрицы Е именно к-я координата равна 1, а остальные координаты равны 0. Итак доказано, что DE-D. Равенство ED = D доказывается аналогично. (""""Замечание ) Если рассматривать векторы а и Ь как матрицы, то скалярное произведение можно записать следующим образом: \а-Ъ\* аЪЛ -=Ьо Пусть задана система m линейных уравнений с п переменными, имеющая следующий вид: «11*1 + й12*2 +... + «,„*„ =с, am\x\ +amlxlt--- + Чю\Хп~ст здесь а,* называются коэффициентами при переменных, с* - свободными членами, / = 1.. .. т, к= 1, п. Если использовать обозначения:
то систему (3.1) можно записать в матричном виде так: АХ = С. Если же использовать обозначения:
0 ... 2 3 4 5 6 7 8 ... 162
|
