Раздел: Документация

0 1 2 3 4 5 6 7 ... 162

Kl.ll. Искомая прибыль будет равна скалярному произведению векторов к и у, деленному на 100. Поэтому для решения этой задачи с помощью Mathcad необходимо выполнить следующие действия. Ввести координаты векторов х и у. Определить

суммарную величину кредита: kr:= У х. Определить прибыль банка рг:-*--

Процент прибыли от общей суммы кредита будет равен1 00.

Ответы: 1232.35 млн ден. ед., 163.39млн ден. ед., 13.26%.

Глава2

findm

Линейно

независимые

системы

векторов

Вначале дадим определение линейной комбинации векторов.

( Определение )

. Представим вектор ~Ь в виде линейной комбинации векторов яГ,а2, ..7, щ коэффициентами а,, «2, ...,ак .если Ь -а,я, +аЗа2 +... +ata, .Если при этом не все коэффициенты а,, а2,.., а* равны нулю, то такую линейную комбинацию будем называть ненулевой комбинацией; если же а, = а2 =... = а, = 0 (и следовательно Ъ =0), то такую линейную комбинацию будем называть нулевой.

Очевидно, что нулевой вектор можно представить в виде нулевой комбинации любой системы векторов. Однако не всегда нулевой вектор представим в виде ненулевой комбинации.

Определение

Система векторов Уиз R" называется линейно независимой, если нулевой вектор из R" не может быть представлен в виде ненулевой комбинации векторов из V. В противном случае система V называется линейно зависимой. Другими словами, в случае линейно независимой системы векторов ct\,a2,.ak из равенства atat +а~а1+... +atal=0 следует, что все коэффициенты а,,

/ = 1.... к, равны нулю; в случае линейно зависимой системы из того же равенства вытекает существование такого набора коэффициентов, среди которых есть хотя бы один ненулевой.

Пример

Если 5, =(2,2,3), а2 = (0,-4,5), а3 = (3,13,-8), то непосредственно проверяется равенство За] - 5а2 ~ 2<53 - б. Выполнение этого равенства означает, что система векторовлинейно зависима.

Если система векторов В включает в себя все векторы системы А, то А называется подсистемой В.

Теорема 2.1. Если система векторов В содержит линейно зависимую подсистему векторов А, то В также линейно зависима.

Доказательство. Пусть А = {а,, .77, aк} ,В=~{а,,... ak~bt,... ~Ь,. Так как А

линейно зависимая система, то нулевой вектор представим в виде ненулевой комбинации векторов изЛ: 0 = 01,5, + ... + cctat

Но тогда 0 = аД +... +at5,+ OA, +... + Ой,, что означает линейную зависимость системы векторов В. Теорема доказана.

Следствие 2.1. Любая подсистема векторов линейно независимой системы векторов линейно независима.

Теорема 2.2. Пусть линейно независимая система векторов А после добавления нового вектора b превратилась в линейно зависимую систему A U {b}, Тогда вектор b представим в виде линейной комбинации векторов из А

Доказательство. Пусть Л={а,, а2,5*} .Ввиду линейной зависимости системы

векторовнулевой вектор представим в виде ненулевой комбинации

О = а,5, + ... + аТ7а+ (ЗЬ . Если Р = 0, тсГо = а~а, +... +atat где не все а, равны 0, что противоречит линейной независимости системы векторов Л. Поэтому (3 0 , откуда

b =--а,--а-, -- ак .

( Определение)

Максимально возможное число векторов в линейно независимой подсистеме системы векторов Vназывается рангом системы V.

Очевидно, ранг линейно независимой системы векторов равен числу векторов в этой

системе.

Г Определение~)

Элементарными преобразованиями системы векторов называются:

•умножение любого вектора этой системы на ненулевое число (элементарное преобразование типа 1);

•прибавление к одному из векторов системы любого другого вектора этой системы, умноженного на произвольное число (элементарное преобразование типа 2).

Теорема 2.3. Элементарные преобразования сохраняют линейную независимость или линейную зависимость системы векторов.

Доказательство. Докажем эту теорему только для элементарных преобразований типа 2. Пусть A... , а система получается из А в результате прибавления к первому вектору второго вектора, умноженного на число т.е. В = Vka-l,a1, ак}. Очевидно, равенства 0 = а,а, + а,а2+... +<хка,,

0 1 2 3 4 5 6 7 ... 162