    
Раздел: Документация
0 ... 112 113 114 115 116 117 118 ... 143   Рис. 11.4. Связь между фазовой траекторией х (t) (в) и временными характеристиками хх {t) (а) и *2 (0 (о). Рис. 11.5. К задаче о переводе управляемого объекта из точки хя в хк фазового пространства. Уточним задачу о переводе управляемого объекта. Пусть в начальный момент времени t0 фазовое состояние объекта соответствует точке хн (рис. 11.5); требуется выбрать такое управление и (t), которое переведет объект в заранее заданное конечное фазовое состояние хк. Для решения этой задачи необходимо знать уравнение движения (динамики), т. е. математическую модель управляемого объекта (процесса). Уравнения движения управляемого объекта Рассмотрим электродвигатель, который представляется двумя апериодическими звеньями (рис. 11.6). На вход двигателя поступает напряжение и, на выходе двигателя — угловая частота вращения ротора <о «= jft- Уравнение двигателя\ {Тгр + 1) (Tjjp + 1) хг = ku, р = dldt, k = kxk2, или TjTjij + (7\ + Та) хг -f хг = ku. Для анализа процессов в фазовом пространстве уравнение объекта представляют в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка. Обозначив ускорение через х2, т. е. положив х2 —хг, запишем уравнение двигателя в виде следующей системы дифференциальных уравнений: Хо = — Ti + T2 ТгТ2 ■и. (11.1)
Рис. 11.6. Структурная схема двигателя, управляемой величиной которого является угловая частота вращения ротора <о = Здесь xlt х2 являются фазовыми координатами двигателя, а и — управляющим воздействием. Уравнения (11.1) являются законом изменения фазовых координат с учетом влияния управляющего воздействия, т. е. законом движения фазовой точки на фазовой плоскости. Уравнения (11.1) дают выражения производных от фазовых координат хх,х2 через сами фазовые координаты хх, х2 и управляющее воздействие и. Переход к описанию объекта в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка от линейного уравнения л-го порядка осуществляется путем замены переменных xk = dx/d/*-1 и подстановки их в исходное уравнение. Пусть уравнение объекта с одним управляющим воздействием и таково: dnx , dn~lx ,,dx . + «i \т-х + ■•• +an-l-n- + anx=u. 0 dtn 1 й"-1 "-1 dt Tcrta, обозначая хх = х, х2 = х, х3 = х, можем записать систему п уравнений первого порядка Хх = х2, Хл --— Xft Хп—1 — хп хп = — (atxn + a2x„ i + • • • + апх1 — и)/а„. В общем случае движение управляемого объекта описывается системой дифференциальных уравнений хх = fi (х1( ... , хп, щ, ... , ыг); I х2 = /2 (х, ... , xnt иХУ ... , ur)» J (11.2) Хп — fn (Xj, . . . , Xn, tlx, ... , wr), J гДе fu /2» •••> fn — некоторые функции, определяемые свойствами объекта. Систему уравнений (11.2) можно записать в векторной форме x=f(x, и),(11.3) где х — вектор с координатами х1( х2, х„; и — вектор с координатами их, «2, ur; f (х, у) —вектор, координатами которого служат правые части выражения (11.2); х — векторе координатами хъ х2, ... ...,х„. В том случае, когда на управляемый объект оказывает влляние возмущающее воздействие L (г) = (Lx (t), L2 (f), Lt (t)), ураьнение динамики в векторной форме принимает вид x = f(x,u,L).(11.4) Критерии оптимальности Зная управляющее воздействие и (i) = (ut (t), и2 (f), ur (f))f можно из системы уравнений (11.2) или векторного уравнения (11.3), а при наличии возмущений из уравнения (11.4) однозначно определить движение объекта при t > t0, если известно его начальное фазовое состояние при t = t0. Если изменить управление и (t), то движение фазовой точки будет происходить по другой траектории, т. е. для разных управлений получаем разные траектории, исходящие из одной точки (рис. 11.7). Поэтому перевод объекта из начального фазового состояния хн в конечное хн можно осуществить по разным фазовым траекториям в зависимости от управления. Среди множества траекторий существует наилучшая в определенном смысле, т. е. оптимальная траектория. Например, если поставлена задача минимального расхода топлива в течение интервала полета самолета, то следует подойти к выбору управления и соответствующей траектории именно с этой точки зрения. Удельный расход топлива G зависит от развиваемой тяги — управляющего воздействия и (i), т.е. G (и). Интересуемый суммарный расход топлива — основной в данном случае показатель качества систем управления полетом самолета — определяется интегральным функционалом Q(u) = G(u)dt. (11.5) Интегральный функционал (11.5), характеризующий основной показатель качества системы управления (в рассматриваемом примере расход топлива), называется критерием оптимальности. Каждому управлению и (t), а следовательно, траектории полета самолета соответствует свое численное значение критерия оптимальности (11.5). Возникает задача выбора такого управления и (f) и траектории движения х (i), при которых достигается минимальное значение критерия оптимальности. Обычно используются критерии оптимальности, величина которых определяется не текущим состоянием объекта (в рассматриваемом примере удельным расходом топлива), а изменением его в течение всего процесса управления. Поэтому для определения критерия оптимальности требуется, как и в приведенном примере, интегрировать какую-либо функцию, величина которой в общем случае зависит от текущих значений фазовых координат х объекта и управляющего воздействия и, т. е. такой критерий оптимальности является интегральным функционалом вида  Рис. 11.7. Фазовые траектории движения объекта, соответствующие различным управляющим воздействиям. Q(x,u) = G{x,u)dt.(11.6) 0 ... 112 113 114 115 116 117 118 ... 143 |
