    
Раздел: Документация
0 ... 113 114 115 116 117 118 119 ... 143 Здесь G (х, и) — функция выходной величины х объекта и управляющего воздействия и, являющихся в общем случае векторами; к — длительность процесса управления. Согласно формуле (11.6), критерий оптимальности Q (х, и) является числовой величиной, зависящей от функции G (х, и). Частным случаем критерия оптимальности (11.6) являются интегральные оценки качества переходных процессов: оооо 7i = 1 (-Куст — х) dt, /2 = j (хуст — х)2 dt.(11.7) оо Подынтегральная функция в этих критериях содержит только координаты объекта — установившееся хуст и текущее х значения выходной величины. Примером критерия, в котором подынтегральная функция содержит управление, является критерий (11.5), применяемый при минимизации расхода топлива, и интеграл <?(«) = jG(u2)<#.(11.8) о Квадрат управляющего воздействия (например, электрического тока, потребляемого объектом) определяет мощность, расходуемую при управлении объектом. Поэтому интеграл (11.8) будет мерой расхода энергии и применяется в задачах на минимизацию расходуемой энергии. В тех случаях, когда фазовые координаты объекта представляют стационарные случайные функции, критерий оптимальности представляет собой интегральный функционал не во временной, а в частотной области. Такие критерии оптимальности используются при решении задачи оптимизации систем по минимуму дисперсии ошибки. В простейших случаях критерий оптимальности может представлять собой не интегральный функционал, а просто функцию. Такой критерий используется при оптимизации конечного состояния объекта, например, в задаче минимизации отклонения (промаха) при наведении истребителя-перехватчика или ракеты на цель. При решении поставленной выше задачи перевода объекта (процесса) из начального фазового состояния хн в конечное хк следует, очевидно, выбирать такое управление, для которого принятый критерий f оптимальности — функционал Q (х, и) = ] G (х, и) dt — принимает наименьшее возможное значение. Во многих случаях к системе управления предъявляются противоречивые требования (например, требования минимума расхода топлива и максимальной скорости полета самолета). При выборе управления, отвечающего одному требованию (критерию минимума расхода топлива), не будут удовлетворяться другие требования (максимальная скорость полета). Поэтому из всех требований выбирают одно основное, которое должно удовлетворяться наилучшим образом, а другие требования учитываются в виде ограничений их значений. Например, при удовлетворении требования минимального расхода топлива ограничивается минимальное значение скорости полета самолета. Если имеются несколько равных показателей качества, которые не удается объединить в общий комбинированный показатель, выбор оптимальных управлений, соответствующих этим показателям в отдельности при ограничении остальных дает варианты решения, которые могут (при проектировании) помочь при выборе оптимального компромиссного варианта. В общем случае ограничиваемые величины могут иметь, как и критерий оптимальности, вид функционалов Q {х, и) от х и и, а соответствующие ограничения — вид неравенства Qm(x, и) 0, т = 1, 2, ... Ограничения управляющего воздействия и фазовых координат управляемого объекта При выборе управляющего воздействия и следует иметь в виду, что оно не может принимать произвольные значения, так как на него наложены реальные ограничения, определяемые техническими условиями. Например, значение управляющего напряжения, подаваемого на двигатель, ограничено его предельным значением, определенным условиями эксплуатации двигателя. Таким образом, в соответствии с конструкцией объекта и условиями его эксплуатации в пространстве переменных щ, щ, иТ имеется некоторое множество U допустимых управляющих воздействий и выбираемое управляющее воздействие должно принадлежать этому множеству u£U. На рис. 11.8 изображено множество U для случая г = 2. Для технических задач характерна замкнутая область допустимых управлений, когда точка и (иг, ы2, иг) может находиться не только внутри множества, но и на его границе. На фазовые координаты объекта также налагаются определенные ограничения х £ X (при повороте антенны высотомера на заданный азимут максимальная угловая скорость и ускорение ограничены механической прочностью антенны). Оптимальное управление может быть достигнуто, если объект является управляемым, т. е. существует хотя бы одно допустимое управление, переводящее объект из начального состояния в заданное конечное. Постановка задачи. Задача оптимального управления может быть сформулирована следующим образом. В фазовом пространстве объекта X даны две точки хн и хк. Среди всех допустимых управлений и (г), переводящих объект из точки ха фазового пространства в точку хк, найти такое, для которого критерий оптимальности Q (х, и) = G (х (t), и (г)) dt принимает наименьшее возможное значение. Здесь х (t) — решение уравнения (11.2) с начальным условием x(t0) = хн. Такое управление называется оптимальным управлением, а соответствующая траектория — оптимальной траекторией.     л Рис. 11.8. Множество U допустимых управлиющих воздействий для случая г = 2. Рис. 11.9. Геометрический интерпретации критерия оптимальности Q= = *о йО- Требование минимизации критерия оптимальности Q может быть формально заменено требованием минимизации конечного значения одной из координат объекта управления. Для этого в уравнения (11.2) объекта вводится дополнительная координата, которой является фу» щонал Q. Это делается добавлением к уравнениям (11.2) нового уравнения причем х (0) = 0. Размерность фазового пространства при этом увеличивается на единицу, т. е. становится равной п + 1. С учетом (11.6) из (11.9) следует, что Q = х0 (tK), т. е. значение критерия оптимальности Q равно значению х0 в.конечный момент времени t — tK. Геометрически это означает следующее (рис. 11.9). В (п + 1)-мерном пространстве с координатами х0, xlt хп фазовая траектория проходит от точки х (0), расположенной в гиперплоскости (х,, х2, хп), х0 (t = = 0) = 0, до точки М, у которой фиксированы координаты (хх, х2, ... хп) (они определены конечной точкой х (tK) траектории объекта). Точка М лежит на перпендикуляре, восстановленном из точки х (tK) гиперплоскости х0 = 0 и параллельном оси х0. Требуется найти такое управление и (t), чтобы минимизировать конечное значение х0 (tK) координаты х0. Найти оптимальное управление иот означает определить его математическое описание, т. е. найти оператор Ауу, в соответствии с которым формируется управляющее воздействие и. В большинстве случаев и формируется из фазовых координат объекта х (для чего вводится обратная связь), внешних воздействий L с учетом принятого критерия оптимальности и = Ауу (х, L, G). Управляющее воздействие и формируется с помощью управляющего устройства УУ (рис. 11.10). Если граничные условия в задаче оптимального управления заданы начальной и конечной точками траектории (см. рис. 11.7), то имеем задачу с фиксированными концами. В том случае, когда одно или оба граничных условия заданы не точкой, а конечной областью или совсем не заданы, то имеем задачу со свободными концами или одним свободным концом. Примером задачи с одним свободным концом является задача устранения отклонения в системе автоматического управления, вызванного, например, скачкообразным изменением задающего или возмущающего воздействия. dxjdt - G (X] 1>  (11.9) 0 ... 113 114 115 116 117 118 119 ... 143 |
