Раздел: Документация
0 ... 116 117 118 119 120 121 122 ... 143 Для определения координат вектора на оптимальной траектории используются (л + 1) так называемых сопряженных уравнений. Для определения этих уравнений вначале найдем частные производные Методику определения частных производных рассмотрим на примере п = 2: "дж~--d7~vo + -dx~yo- ■u i dFt ... 2 т/ , dV2 + V + ~dx~ + 4xrv+ -dx~2, «=1,2. Для случая t = 1 переменные -ф0 и х,, ib2 и xi являются независимыми, поэтому dtyo/dXx = dtyjdx1 = О и Подставив в последнее выражение значение Vt = dxjdt, получим В точках оптимальной траектории частные производные Н по xh согласно условию (11.11), равны нулю. Приравняв дЯ/дл = 0, из выражения (11.14) получаем сопряженное уравнение 2 "Г dtZji dx /=о 1 В общем случае сопряженные уравнения, справедливые для оптимальной траектории, имеют вид -.2.....п.(11.15,f Так как дополнительная координата % вектора гЬ всегда равна —1, то *!>„/£& = 0.(11.16) Из системы п сопряженных уравнений (11.15) совместно с уравнением (11.16) определяют значения (л + 1) текущих координат я)0, ;-%.....if„ вектора if на оптимальной траектории. Таким образом, с учетом сопряженных уравнений (11.15) и (11.16) общее число соотношений равно 2 (л + 1) + г, т. е. соответствует числу искомых переменных. Выражение (11.14) для общего случая принимает вид дН d% . v , dVi ---it + L ** —~ дх — dt dx, «/=0* Учитывая, что для данной точки х оптимальной траектории ф задано и в явном виде от х зависит лишь вектор V, частная производная Н по х{ дН Л dV, ~*r = L*i-dT- =1.2.....п.(11.17) Из сравнения выражений (11.15) и (11.17) видно, что их правые части равны и поэтому выражение (11.15) можно записать .в компактной форме dtyildt = — dHldxt.(11.18) Из формулы (11.11) следует, что dH/6\pi= Vit поскольку V не зависит от %. Подставив в последнюю формулу значение Vt = dxjdt, получим уравнение движения объекта в виде dXildt = дНЩс, i = 1.....п.(11.19) Уравнения (11.18) и (11.19) называются канонически сопряженными. Можно принять следующий план решения задачи оптимизации с помощью принципа максимума. 1.Записываем уравнения объекта в виде системы уравнений первого порядка, включая в них уравнение для функционала качества, Х{ = //(х, и), i = 0, 1.....п. 2.Составляем функцию Гамильтона 3.Записываем систему сопряженных уравнений /=о • из которой определяет вспомогательные функции 4.Найденные значения % и значения Vt = х< подставляет в выражение для Я и из системы уравнений дН/du/ = О, I = \, ... , г находим значение управляющего воздействия и (ии щ, и,), максимизирующего функцию Н. Максимум функции Н возможно и на границе допустимых управлений, где отдельные производные дН/ди, не обращаются в нуль. 5.Полученное значение и подставляем в уравнение объекта *i = ft (х, и), i = 0, 1, ... , п, решаем его и находим х (х0, х1г х„), т. е. значение функционала качества х0 (tj = Q и оптимальную траекторию хг хп. Таким образом, при использовании принципа максимума вариационная задача нахождения функции и, экстремизирующей функцио- нал Q, заменяется более простой задачей определения управления доставляющего максимум вспомогательной функции — функции Гамильтона Н. Отсюда следует и название метода — принцип максимума. Основная сложность при применении принципа максимума состоит в том, что не известны начальные значения if (0) вспомогательной функции \р. Обычно задаются произвольными начальными значениями ф (0), решают совместно уравнения объекта и сопряженные уравнения и получают оптимальную траекторию, которая, как правило, проходит мимо заданной конечной точки (см. рис. 11.14, б). Методом последовательных приближений посредством задания различных начальных значений ф (0) находят оптимальную траекторию, проходящую через заданную конечную точку. Принцип максимума является необходимым и достаточным условием только для линейных объектов. Для нелинейных объектов он представляется только необходимым условием. В этом случае с его помощью находится суженная группа допустимых управлений, среди которых, например перебором, находится оптимальное управление, если вообще оно существует. 11.3. Оптимальные по быстродействию системы автоматического управления Задача об оптимальном быстродействии и метод ее решения Повышение быстродействия САУ является актуальной задачей. Уменьшение времени переходных процессов следящих систем позволяет за более короткий срок отрабатывать задающие воздействия, например поворачивать антенну РЛС на заданный угол, изменять частоту настройки радиопередающего и радиоприемного трактов РЛС, устранять начальное рассогласование при управлении полетом ракеты, т. е. увеличение быстродействия систем способствует повышению эффективности радиоэлектронной техники. Повышение быстродействия систем управления летательными аппаратами дает возможность увеличить их маневренность. Сокращение продолжительности переходных процессов систем управления техническими объектами, роботами, и технологическими процессами ведет к повышению производительности труда. В линейных системах автоматического управления повышение быстродействия может быть достигнуто с помощью корректирующих устройств. Например, уменьшение влияния на переходный процесс постоянной времени апериодического звена с передаточной функцией k/(Tp + 1) возможно за счет включения последовательного дифференцирующего устройства с передаточной функцией kx (Тгр + \)1(Т2р + + 1), где 7\ == Т,Т2 Тг. Эффективными методами повышения быстродействия следящих систем являются методы подавления начальных значений медленно затухающих компонент переходного процесса систем и минимизации квадратичных интегральных оценок с помощью связей по задающему воздействию [18, 21]. Однако эффект улучшения 0 ... 116 117 118 119 120 121 122 ... 143
|
