Раздел: Документация

0 ... 118 119 120 121 122 123 124 ... 177

Чтобы найти производную функции, не обязательно вводить ее выражение непосредственно в оператор дифференцирования. Можно первоначально определить производную как некоторую функцию пользователя И в дальнейшем получать численные значения, просто вводя нужные величины неременной в скобки. Такой способ более удобен тем, что позволяет получать одновременно значения производной во многих точках. Просчитывать такую функцию можно только численно, Если те же расчеты нужно провести аналитически, определите, используя оператор символьного вывода («-+»), выражение производной в общем виде, а затем задайте его ниже как функцию. Указывая в скобках необходимые значения переменной, вы получите значения производной н различных точках в символьной форме.

Пример 11.2. Определение значения производной в точке

Численный расчет:

i + иш(,Ф)аф

Аналитический расчет: d Ф +

tan(*) , с "V2 - ИП(Ф) - 1ап(ф)? + ф + ф-1ап(ф)2) -—г simplify —>-ь

«Н + МЙ(1 + ,ап(ф))2

\. -(-2 - tan(ф) - tanfo)2 + ф + ф-гапСф)2) (1 + Гап(ф))2

г-п) -> 2 + ягтя) 2 - я.

Существенным недостатком численного определения производной является то, что алгоритм находит значения в точках, где функция производной терпит разрыв. Разумеется, такие результаты абсолютно некорректны и не имеют смысла. В случае же символьного расчета при попытке найти производную В точке, где она не существует, сис тема выдаст сообщение об ошибке: Cant divide by zero (11евозможно деление на нуль). Чтобы убедиться в скаааш-юм, попробуйте найти значение производной обоими методами в точке -к/4.

Чтобы численно получить значение производной в конкретной точке, после оператора дифференцирования можно сразу ввести оператор численного вывода {«-»). Естественно, При этом выше самой производной следует определить соответствующее значение переменной.

Пример 11,3. Численное дифференцирование

кd ф + т,ап(ф)

Ф ;= —--т"— = и.э

4dф ] t tanvW

При численном определении значения производной в точке ни в коем случае нельзя задавать величину переменной в самом операторе дифференцирования: при этом в пер-

---

вую очередь будет подсчитано значение самой функции, и производная уже будет вычисляться от некоторой постоянной величины. Естественно, что, независимо от вида функции, ответ будет один и тот же; 0. Кстати, это относится и к символьному дифференцированию.

Пример 11.4. Ошибка при расчете производной

х:=*0

—cos — =0 —cos —

dx \2Jdx \2j

Попробуем определить, с какой точностью находится значение производной в точке при использовании численного дифферстдирования. Для этого сравним ответы, выданные при численном и аналитическом расчете производной. Естественно, что результат аналитического расчета будет эталонным (так как, после пересчета в десятичную дробь, в нем будет присутствовать ошибка лишь на уровне 14-15-го знака).

Пример 11.5. Точность численного дифференцирования

Находим выражение про иа иол ной:

2

d sin(x) + соа(х) сов(х) - sin(x) (sin(x) + cos(x))

dx sin(x) - cos(x) sin(x) - coa(x) ;. , . . .42

(sm(x) - cos(x))

Присваиваем переменной нужное значение:

к

х:= —

i>

Вычисляем значение производной 8 точке аналитически;

v2

cos(x) - sinfx) (sin(x) + cos(x))

float,20 -►-14.928203230275509

sin(x) - cos(x) .,2

(sin(x) - cos(x))

Проводим численное дифференцирование:

d Sin(x) + coS(x) = 14.92И032И29353 dxsm(x) -cos(x) Отличия в ответах начинаются с 13-го знака мантиссы,

Как видно из примера 11.5, точность численного метода, используемого Mathcad для определения значения производной в точке, очень высока — ошибка появилась только а 13-м знаке мантиссы. Впрочем, в зависимости от вида функции, точность может быть как выше (вплоть до 15-го знака мантиссы), так и существенно ниже. Разработчики ре-коме вдуют доверять 7-8 знакам результата, полученного при численном определении значения производной первого порядка. Точность вычисления производных более высоких порядков обычно ниже. Также ответ, содержащий большую ошибку, может быть получен при определении значения производной в точке, лежащей недалеко от точки разрыва или вблизи других особенностей функции.

Важно понимать, что если оператор дифференцирования входит в сложное выражение, которое подсчитывается численно, то будет задействован численный алгоритм. Если

---

же выражение вычисляется аналитически, то и производная будет определена символьно.

По определению, производной функция f(x) называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. В принципе, в Mathcad можно подсчитывать производные и бо использования оператора дифференцирования, а только на основании определения производной. Это может быть полезно при оформлении докладов и статей, а также при решении некоторых специфических задач.

Пример 11.6. Вычисление функции производной исходя из ее определения

Вычислить производную для f(x)-ln(a-x+b).

ln[fr(x+b) + b]-ua>x+b)а

lion111 *—► -

h -» ОЬi*x + b

11.1.2. Производные высших порядков

Чтобы подсчитать производную выше первого порядка, следует использовать специальный оператор Nth Derivative панели Calculus (Вычисления). Помимо кнопки панели, его можно ввести сочетанием клавиш Ctrl+Shift+«/». Оператор содержит четыре маркера, которые заполняются полностью в соответствнн с принятыми в математике правилами. Кстати, как только вы введете значение степени в один маркер порядка, в другом оно появится автоматически.

Порядок производной должен быть обязательно числом Аналитический подсчет производной с неявно заданным порядком невозможен даже в простейших случаях. Наоборот, вид функции, от которой находится производная, может быть очень сложным Также возможен аналитический подсчет производной от функции нескольких переменных или от функции с неявно заданными параметрами.

Пример 11.7. Вычисление производных высших порядков

Вычисляя производную, смывальный процессор не упрощает полученное ныражение. Поэтику, если оно получается громоздким, нужно использовать оператор lunplify.

d2 х2 + Зх+ I . „. „ -U9 + хб + 21-х4 + 9xS + 18-х + 93* + 57-х3

simplify —> 2

dxZ хЭ - 5х - 6

(х - 5 х - 6)

Пример нахождения производной высокой степени от функции с неявным параметром.

d10 n-x 10 nx —где -> n e

dx

Численное определение значения гфоиэводной второго порядка

0 ... 118 119 120 121 122 123 124 ... 177