Раздел: Документация

0 ... 119 120 121 122 123 124 125 ... 177

Аналогично обычным производным, производные высших порядков можно вычислить как аналитически, так и численно. Однако при численном дифференцировании порядок производной не может превышать 5 (при попытке задать больший порядок программа выдаст соответствующее сообщение об ошибке). Причина данного ограничения связана с особенностями используемого Mathcad численного метода и заключается в том, что в ходе вычисления производной высокого порядка происходит накопление ошибок на каждом круге приблнжегшй. Поэтому чем выше порядок производной, тем меньше точность результата. Очевидно, что если потеря точности на каждый порядок дифференцирования составляет по одному десятичному порядку, а надежность используемого Mathcad числепного метода для первой производной равна 7-8 знакам после запятой, то доверять результату расчета этим методом производной, например, восьмого порядка, пи в коем случае нельзя. Описанную проблему демонстрирует следующий пример.

Пример 11.8, Накопление ошибки по мере увеличения порядка производной при использовании численного метода дифференцирования

Производная любого порядка от е* прн х**1 равна е. Используем этот факт для проверки точности ответов.

х:= I

23

е ---6* = 3.317x10"13 е -— е* = 5.348* 10"П

А2А3

dxdx

d4 х -11 d5 х- 7

e--e = 5.285 x]0в--e =-2.203x10

J 4A 5

dxdx

Из примера 11.8 видно, что при подсчете производной пятого порядка ошибка численного метода началась с 4-го знака после запятой. Это, в принципе, приемлемо для обычной точности в Mathcad, хотя для ряда специфических задач такое приближение может оказаться недопустимо грубым. Поэтому производные высоких порядков все же лучше вычислять символьно. Благо, при этом точность будет высокой, независимо от вида дифференцируемых функций н порядка производной. Единственным недостатком такого метода можно назвать то, что при вычислении производных высоких порядков приходится иногда работать с весьма громоздкими выражениями (но обычно их можно упростить, используя операторы simplify, collect, facto* и expand).

При желании можно попробовать вычислить производную более пятого порядка и численным методом (это можно сделать в том случае, если особая точность вас не интересует). Для этого нужно просто последовательно ввести два (или несколько) оператора дифференцирования. Однако не-рекомендую вам использовать данный ход, так как погрешность при этом может быть очень высокой.

Пример 11.9. Численное определение значения производной седьмого порядка

х:=1

d5 d2 х-5

е---е =9.969x10

dx dx

---

11.1.3. Частные производные

В том случае, если производная вычисляется для функции нескольких переменных, она называется частной. Никаких принципиальных отличий между заданием простой и частной производных нет. Единстве и нос, важным моментом является то, каким образом можно преобразовать оператор простого дифференцирования к виду частной производной. Чтобы это сделать, нужно щелкнуть примой кнопкой мышн На операторе производной. При этом откроется контекстное меню, в котором следует выбрать список View Derivative As (Видеть производную как). В появившемся подменю устанонк-[>.флажок Partial Derivative (Частная производная). Если вам понадобится вернуться к стандартному виду опертТорадиффере]«1ИХ11иния,то в Т(ж1 же меню выберите пу)кт Derive

Можно задавать в Mathcad и частные производные высших порядков. Правда, определенные сложности могут возникнуть сп смешанными производными. Дело в том. что традиционную форму их представления Mathcad не поддерживает. Однако задать смешанные производные вес же можно, поместив в маркер выражения одного оператора дифференцирования другой оператор. В большинстве случаев порядок взятия производных при вычислении смешанной производной не влияет на результат, поэтому объединять их можно в любой последовательности. Различии могут возникнуть, лишь если смешанные производные не яьлнются нспрсрынными.

Пример 11.10. Найти все частные производные второго порядка для функции f(x,y,z)=x3leI+z-y3

Задаем функцию:

2 X4Z 3 H>.y.z):=x е -у

] l.iшдми несмешанные частные прпилнолные шорого порядка

-n>,y,z) factor e*1!t-6+ 4-х+ х2)—5«Xy,z) ->-6у

вх2к7ду

—.fiXy.z) ->ie дг

Определяем смешанные производные. Иа каждой пары ЛЮизаодных достаточно найти одну -у второй значение будет таким же (так как условие непрерывности соблюдается).

-itbcy.z) ->0LiLttx,y,Z) ->0 ILLfrW) -+0

дкдуду дгдхоудг

--2 Г( \.у, г) factor -> xe*+z(2 + х)

бх дг

11.2. Задачи, связанные с вычислением производной

Задач, в основе решения Которых лежит вычисление производных, имеется немало. Некоторые нз них особенно важны для праклгки, и поэтому они встречаются в любом

---

11.2. Задачи, связанные с вычислением производной «381

...............*.....* j...........

задачнике по математическому анализу. Это, прежде всего, задачи, связанные с исследованием функций: поиском экстремумов, перегибов, асимптот. В этом разделе мы не будем разбирать примеры такого рода, так как описанию особенностей их решения посвящена гл. 13. Сейчас же мы обсудим, как решаются задачи так называемой дифференциальной геометрии (построение касательных к линиям и касательных плоскостей к поверхностям, нормалей, огибающих), а также задач», связанные с дифференцированием сложных функций.

11.2.1. Построение касательной и нормали к плоской кривой

Построить касательную к кривой очень просто, если знать геометтлгческий смысл производной — это тангенс угла наклона касательной к оси X. То есть производной соответствует коэффициент к в уравнении касательной y(x)=kX+b. Коэффициент же Ъ легко найти из условия у(0)=Ь. Путем несложных преобразований можно заключить, что касательная к кривой функции f(x) в точке М(х0,у0) задается следующим уравнением;

Уравнение нормали очень просто вывести на уравнения касательной, если догадаться, что прн повороте на 90" касательная переходит в нормаль. Запишем уравнение касательной через тангенс ее наклона к оси X:

Очевидно, что уравнение нормали тогда будет выглядеть следующим образом:

Задачи на построение касательных обычно довольно несложные. Типичная из них рас сматривается в Примере 11.11.

Пример 11.11. Составить уравнение касательной и нормали к линии, заданной уравнением у(х)=х*-3-х3+4Х2-5-х+1 в точке М{0, 1)

Задаем переменные с координатами точки М и функцию линии:

У(х) = У0+ tan(o.)(x- Xq)

Так как tg(a+p/2)~-ctg(a), a ctg(a)-*l/tg(a), то окончательна имеет

xq-O

У0:=1

4 3 2 у(х) :=х - Зх + 4х - 5х + I

Определяем выражение производной и задаем ее как функцию.

0 ... 119 120 121 122 123 124 125 ... 177