    
Раздел: Документация
0 ... 117 118 119 120 121 122 123 ... 177 Глава 11. Вычисление производных Производная - это одно из основных понятий современной математики, это инструмент, имеющий огромное практическое значение. С помощью производной можно охарактеризовать скорость изменения функции, найти ее максимальные и минимальные значения, а также точки перегибов. К вычислению производной сводятся решения ai ta-чительного количества научных н производственных задач (например, нахождение скорости химической реакции или определение оптимальной формы бака для топлива). В этой главе мы обсудим особенности вычисления цроизводныл в Mathcad. В ее первой части приведены необходимые теоретические сведения. Во второй части главы мы разберем, как решаются наиболее важные задачи, связанные с дифференцированием (построение касательной, нормали). Однако задачи, направленные на исследование функции (определение экстремумов, перегибов, асимптот), решаться в данной главе не будут. Подробному описанию этой объемной темы посвящена гл. 13. 11.1. Принципы расчета производных в Mathcad Аналогично большинству остальных i юиболсе важных математических операций, в Mat h -cad существует численное и символьное дифференцирование С вычислительной точки зрения аналитическое определение производной почти любой встречаемой на практике функции — лето, и общем-то, технически очень простое Однако, в случае сложных выражений и дробей, аналитическое дифференцирование может потребовать громоздких выкладок и быть чрезвычайно трудоемким. Очевидно, что такая работа вряд ли кому- го покажется интересной, Поэтому возможности системы Mathcad в этой области могут помочь сэкономить время и силы. Ключевым моментом здесь является то, что, в отличие от символьного интегрирования или решения уравнений, аналитически можно просчитать производную любой функции. Зачем же Тогда нужно численное дифференцирование? По большому счету, в 9994 случаев без численного дифференцирования можно обойтись. Однако в ряде специфических задач оно более удобно, чем аналитическое дифференцирование. Так, если нужно получить значение производной в точке (к примеру, чтобы провести касательную), а аналитическое выражение производной слишком громоздко, дифференцирование проводить стоит численно. Иногда приходится дифференцировать зависимости, которые не могут быть выражены каким-то аналитическим выражением. Наиболее типичный 374 * Глава 11. Вычисление производных случаи — интерполяция экспериментальной зависимости квадратичным или кубическим сплайном (подробно соответствующая задача разбирается и гл. 16), Естественно, что аналитическое дифференцирование в случае подобных зависимостей не имеет смысла. Также зачастую немаловажно то. что значение производной в точке численно определяется гораздо быстрее/чем аналитически. Конечно, при вычислении одной производной это не играет ровным счетом никакой роли: время, которое но1ребуется современному компьютеру для дифференцирования любой функции, покажется вам неуловимым мгновением, независимо от используемого подхода. Однако, если при решении задачи производные придется вычислить сотни или тысячи раз (например, при поиске корней системы уравнений), не пользование численных методов более эффективно. В то же время у численного дифференцирования есть значительные недостатки, главным нз которых является значительная погрешность, возникающая при вычислении производных большой степени. Подводя итог, можно сказать: выбор метода дифференцирования должен зависеть от тина решаемой задачи. Символьный метод имеет преимущество в том плане, что результат можно получить в виде функции, которую можно будет использовать в дальнейших расчетах (а погрешность вычисления, исходя из значения производной в интересующей точке, будет ограничена только ошибкой округления или же, если символьный подсчет возможен, будет вообще отсутствовать). Численный же подход имеет преимущества в некоторых специфических задачах. Особенности как символьного, так и численного подхода мы продемонстрируем ниже на примерах. Mathcad позволяет вычислять как обычную производную, так и производные более высоких порядков, а также частные производные. Об особенностях расчета каждого нз этих типов производной мы поговорим по отдельности. 11.1.1. Определение первой производной Одним нз наиболее важных достоинств системы Mathcad является то, что в ее основе лежит принцип WYSIWYG (What you see is what you get — что вы видите, то и получите). Исходя нз этого принципа, запись производной в программе полностью соответствует принятым в математике правилам, и для того чтобы верно ввести какое-то выражение, не нужно знать специального синтаксиса. Сделать это можно точно так же, как если бы вы проводили данную операцию на бумаге. Поэтому, приступая к вычислению производной какой-либо функции, следует найти такой знакомый любому студенту, инженеру или ученому оператор дифференцирования. Оператор первой производной (Derivative) расположен на панели Calculus (Вычисления) и. помимо того, вводится сочетанием клавиш Shift**/* (рнс. 11,1).  Рис. 11,1, Оператор простого дифференцирования на панели Calculus Оператор первой производной имеет два маркера, принцип заполнения которых абсолютно очевиден: в верхний вводится функция, в нижний — переменная, по которой проводится дифференцирование. 11.1, Принципы расчета производных a Mathcad .;, 375 Когда оператор будет заполнен, следует решить, в какой форме необходимо получить ответ. Если в результате дифференцирования должка быть получена функция производной, следует обратиться к возможностям символьного процессора. Для этого в качестве оператора вышла следует использовать оператор символьного вывода (<->►). При символьном дифференцировании можно оперировать функциями нескольких переменных и функциями с параметрами. Также оператор дифференцирования может сочетаться с любым вычислительным пли символьным оператором. Особенно полезен оператор simplify, так как выражение производной выдается в неу прощен ном аиле. Иногда для упрощения ответа стоит использовать операторы collect (приводит подобные слагаемые), factor (раскладывает выражение на множители) и expand (раскрывает скобки). Пример 11.1. Аналитическое вычисление производных Чтобы в этом примере выражение производной получилось компактным, его нужно упростить, а затем В знаменателе выполнить приведение подобных слагаемых no cos(x). д f cos(x) - XSin(x) dx\ sin(x) + x-coe(x) j simplify collect, cos(x) cos(x) + 2Sin(x)x-coe(x) + l Пример вычисления производной функции от функции. Условие получения компактного ответа — использование оператора simplify. d dx (X-2HX+ l)3-(x+ 2)2 simplify 2-х3 - 3X2 -5-x+ 10 (x+2Kx-2)-(x+ l).(x-l) (x- 1)" Пример вычисления производной от функции с буквенными параметрами j2 —(x-sin(ax)) + cos(b-x) dx iin(a-x) + х-cost a* x)-a t cos(bx) Пример совмещения оператора дифференцирования с другим вычислительный оператором (иллюстрация правила Лопнталя-Бсрнулли - раскрытие неопределенности типа0/0). Urn -(вш(4х) + х) dx 0 -(2x-sin(3x)) dx -5 Чтобы получить численное значение производной в нужной точке исходя из результатов символьного расчета, нужно поступить следующим образом. 1.Найти функцию производной, используя оператор символьного вывода (4—»•►). 2.Присвоить переметной соответствующее численное значение. 3.С к он и ро вать п олу ч ен ное вы ражен не дл я производной и выч исл ить его сим вольн о. Также данное выражение можно просчитать, используя оператор simplify. При этом результат будет получен в удобной и не имеющей погрешности символьной форме Однако порой ответ выходит громоздким, и его приходится пересчитать а десятичную дробь (поставив после выражения оператор численного вывода или, лучше, использовав оператор float), 0 ... 117 118 119 120 121 122 123 ... 177 |
