    
Раздел: Документация
0 ... 124 125 126 127 128 129 130 ... 177 значительной неточности определения производной при минимально возможном приращении. В теории численных методов доказывается, что значение приращения, при котором достигается максимальное приближение к производной, является функцией порога округления системы. Так, для используемой нами формулы предела отношений приращений Ьоп1е1Л, где е - порог точности округления. Так как е в Mathcad равняется iO"i;, то, очевидно, дифференцирование следует проводить при Ь>10г*. Вывод этот полностью подтверждается полученной нами ранее таблицей, При h-10"soiHH6Ka начинается только с 11-го знака после запятой, что является очень и очень неплохим приближением. Для иллюстрации вышесказагшого попробуем построить график зависимости величины ошибки от значения приращения. Так как и приращения, и ошибки различаются на много порядков, графикследует строить в логарифмическом режиме по обеим шкалам (рис. 11.5). В(а,П):а*Ь)-*а) h Ы0..1000 h.;=10-,5+,-51<ri м i i i i i i i i м I I I И*А)Н  ± Рис. 11.5. График зависимости величины ошибки от значения приращения Данный график подтверждает наличие максимума точности в окрестности точки приращения 10~5. Помимо того, из него видно, насколько хаотично распределены точки значений ошибки при малых h. Данная хаотичность объясняется влиянием ошибки округления, имеющей, до определенной степени, случайный характер. Существует довольно значительное количество формул, позволяющих более точно и легко, чем по методу конечных разностей, выполнять численное дифференцирование. Как правило, все они создавались с целью повышения точности вычислений при больших h. Например: d -f(x+ 2h) -апГх-Ь) + 8ft>+ h) + n>-2h) dxI2h Данная фюрмула относится к группе формул центральных разностей, и в общем случае она па два порядка точнее рассмотренной нами ранее формулы конечной разности. Однако она еще более чувствительна к ошибкам округления, поэтому максимум ее точности также смешен влево и подчиютется условию Ьзе1". То есть лучших ре- эультатов от данной формулы стоит ожидать при Ь-10-д. Ошибка при этом составит 1.43995926293883x10-а, что почти в 100 раз меньше, чем полученный нами наилучший результат по более простой формуле. В Mathcad для численного определения значения производной в точке используется очень эффективный метод Риддера (Ridder). Об его основных идеях вы можете прочитать в справочной системе программы. Главное же, что о нем нужно знать, это то. что его точность не зависит от T0L или какой-то другой системной константы. Кстати, метод Риддера применяется для вычисления значения производной и реализации градиентных методов решения систем уравнений (блок Given-Find). Поэтому общие представления о нем могут помочь вам более эффективно использовать средства для численного решения уравнений. Глава 12. Ряды и пределы В системе Malhcad существует возможность проведения всех основных операции математического анализа: вычисления интегралов и производных, разложения в ряды Тейлора и Фурье, определения предела функции или последовательности, осуществления интегральных преобразований. Кроме того, с помощью специальных операторов можно весьма эффективно находить конечные и бесконечные суммы и произведения. Данная глава будет посвящена особенностям решения в Mathcad задач, связанных с пределами и рядами, И итерирование и дифференцирование рассматриваются, вви ду объемности и сложности этих вопросов, в отдельных главах (см. гл. 10 и 11). Преобразования Лапласа и Фурье разбираются в гл. 14. посвященной решению дифферен цнадьных уравнений. 12.1. Пределы Вычисление пределов функций или последовательностей — одна из важнейших задач математического анализа. Такое вычисление норой весьма сложно с технической точки зрения, поэтому использование компьютера может значительно сэкономить силы и время. Тем более Mathcad решает задачи подобного рода весьма эффективно. Любой предел, который можно встретить в задачниках, будет подсчитан программой с легкостью, причем ей не придется .помогать», например, используя правило Лопиталя-Бериулли. Неплохо находятся и очень сложные пределы. Например, в Mathcad можно вычислить производную н определенный интефал, основываясь только на их определениях (см, пример 12.1). Чтобы найти предел, следует обратиться к панели Calculus (Вычисления). Данная панель содержит три вила операторов предела: предел и точке или двусторонний предел (Two-sided Limit) (также вводится сочетанием клаипш Ctrl+L), левосторонпий предел (Limit from Below) (Ctrl+Shtft+B), правосторонний предел (Limit from Above) (Ctrl+Shift+A). Очень многие пределы вычисляются при условии стремления переменной к бесконечности. Символ бесконечности (Infinity) в Mathcad можно ввести либо с панели Calculus (Вычисления), либо сочетанием клавиш Ctri+Shift+Z. В качестве оператора вывода при вычислении пределов можно использовать только оператор символьного вывода *—»>. Если же В.Ы «ведете оператор численного вывода «-», то будет выдано сообщение об ошибке. 0 ... 124 125 126 127 128 129 130 ... 177 |
