    
Раздел: Документация
0 ... 125 126 127 128 129 130 131 ... 177 12.1. Пределы * 397 В том случае, если система предел вычислить не может, в качестве ответу выдается само выражение с ключевым словом Limit и указанием на точку предела: lim п—» 00 к = 1
Если ошибка заключена в условии задачи, го будет выведено сообщение вроде: No symbolic result was found (Символьный результат не был найден). В некоторых точках функция может быть не определена. Если левосторонний и правосторонний пределы для подобной точки будут иметь разные значения, то предела в этой точке не будет. Если вы попытаетесь его вычислить, в качестве ответа будет выдано слово undefined (Неопределен). Пример 12.1. Вычисление пределов различных типов Вычисление предела в точке: fc-t-I J- —► — 6 lim *-» 1 х2-4х+3 Вычисление правостороннего и левостороннего пределов: ч/С05(х) - СОЯ(х)1 lim J-~-1-— -* —!ип х » о" Ы-яп(х)12х-* О" Пример предела, не существующего в точке. Доказательством того, что данный факт был определен Mathcad верно, является то, что левосторонний и правосторонний пределы имеют разные lim Jх2 + 8х + 9 - Jcos(x) - cos(x) x-sin(x) -1 12 значения: 1 1 lim — ~* -oolim х-* 0" xx-» 0+ * Пределы от функций с неявно заданными параметрами: lim - undefined lim х-> О 1п(1 + п>х) пх m ii lim х -* О (1 + х) -1 Mathcad умеет вычислять пределы и для более сложных выражений. Например, можно найти предел бесконечной суммы, произведения. В выражение могут входить операторы интегрирования и дифференцирования. Для 1тримера приведем формулу Валлиса, представляющую собой сходящееся бесконечное произведение. Его предел равен я, поэтому долгое время оно использовалось для вычисления данного важного числа с точностью до десятков знаков. lim ( к 2k+ 1 J Показателем того, насколько хорошо Mathcad считает пределы, является то. что в научаемой программе можно вычислить производную только исходя из ее определения как предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда это приращение стремится к 0: lm Ь(ш(х+б))-1п(,ш(х)) «вОО1гК«П(х)} 50йiio(x>dxsin(x) Аналогично производной, исходя из одного лишь определения, можно вычислить и определенный интеграл, Как вы помните, это, упрощенно, предел суммы площадей прямоугольников, на которые можно разбить криволинейную трапецию. Естественно, что «тот предел будет наблюдаться при возрастании количества прямоугольнике! до бесконечности. Зная это. найдем значение интеграла от tt»-sln(x) на промежутке от х/2 до я: г* ein(x)dx I 2 То. что Mat head способен вычислять столь сложные пределы, можно использовать для строгих математических выводов, а также при написании статей иди курсовых в которых важна формальность используемых формул. Интересной возможностью символьного процессора является то. что пределы могут быть найдены и а комплексной области. lim У мп ™ + —-kl— 1 к =0 12.2. Вычисление суммы ряда Не менее эффективно, чем с пределами, способен Mathcad справляться с такой важной задачей математического анализа, как вычисление суммы ряда. Служит для этого специальный оператор Summation (Суммирование) панели Calculus (Вычищения) (также его можно ввести нажатием сочетания Ctrl+Shift+4): ! =i Оператор суммы ряда содержит четыре маркера, которые заполняются точно в соответствии с принятыми в математике правилами. Пределы суммирования могут быть заданы как числами, так и неизвестными, и даже выражениями. В качестве верхнего Предела также может выступать бесконечность. Соответственно, имеется возможность находить суммы как конечных (численно и аналитически), так и бесконечных (только аналитически) рядов (причем ряды могут быть как числовыми, так и функциональными). Бесконечные ряды важны в разного рода аналитических преобразованиях, конечные — в численных расчетах. Рассмотрим особенности их вычисления по отдельности. В Mathcad встроена довольно большая библиотека формул для суммы рядов. Поэтому практически любой ряд иа задачника или справочника будет просуммирован без каких-либо сложностей. Правда, иногда ответ получается громоздким, но часто его можно упростить, задействовав оператор simplify (Упростить) панели Symbolic (Символьные). Отлично умеет программа восстанавливать функции на основании соответствующих им степенных рядов. Во многих случаях удается просуммировать и более сложные функциональные ряды. Совместно с оператором суммирования можно использовать и другие вы чистительные операторы, например почленно дифференцируя или интегрируя ряд. Единственное слабое место оператора суммирования — это бесконечные тригонометрические ряды. Ответить на вопрос, к какой функции сходится тригонометрический ряд, он не сможет даже в случае простейших рядов. Пример 12.2. Вычисление сумм бесконечных рядов различных типов Нахождение сумм числовых рядов с положительными членами: to(О VI-11 I 3— 1-> (2п- 1)(2п +1) 2 d = iп «0 Нахождение сумм знакочередующихся числовых рядов (поразмышляйте над удивительным результатом, полученным при суммировании рядя 1+1-I+1-U.): n=0k=l кГn=0 Иногда сумма бесконечного ряда выражается через специальные функции. Чаше всего невозможно получить точное аналитическое значение подобной функции в точке. Однако его можно рассчитать приблизительно, задействовав оператор float. Сумма приведенного ниже ряда соответствует Z-фуfпшии Рямана Для данной функции существуют аналитические значения при четной показателе степени. Если же показатель нечетный или нецелочисленный, го значение Z-функцни можно рассчитать лишь приблизительно. £ ~ -> Zeta(p)Zeta(2)-»j[2Zeta(3) float.J -* 1.2021 a = 1 П Примеры восстановления функций на основании степенных рядов. Обычно при такого рода расчетах ответ выдается громоздким и его нужно упрощать с использовав нем оператора simplify. Иногда бывает также невбходимым укшьгаать область издан№11н аргуметгта (сы. гад для ln(x)): п-1 п.0 (2а + !)(*♦ I)в-1 п Функциональные ряды в Mathcad можно почленно интегрировать и дифференцировать- Для примера возьмем степенной ряд, соответствующий синусу » Г. п-1 2в-1 dj. (2п-1)! cos(x)2, п =0 J , ..п-1 2п-1 ---dx-»cc«(x) (2п-1)! а =0 Иногда программа использует стандартные формулы довольно некорректно. Например, формула для суммы сходящейся бесконечной геометрической прогрессии будет возвращена по умолчанию, хотя основание прогрессии q потенциально может быть и больше 1 (при атом сумма прогрессии будет равна бесконечности): (Ct -i и— 1 -а > a*q assume ,q > 0 -»- q-1 n = 1 0 ... 125 126 127 128 129 130 131 ... 177 |
