Раздел: Документация

0 ... 126 127 128 129 130 131 132 ... 177

В отличие от сумм бесконечных, суммы конечные можно вычислять как численно, так и символьно. Аналитически конечные суммы приходится находить не так уж и часто, но иногда эта возможность бывает очень полезной. Так, используя оператор суммирования, можно «вывести» формулы для арифметической и геометрической прогрессии, суммы всех нечетных (sum четных) чисел от 0 ло п. суммы гармонического ряда.

Пример 12.3. Аналитическое вычисление конечных сумм

Суммы типа арифметической прогрессии. Обратите внимание на то, что для того, чтобы получить результат п простои форме, не обойтись без операторов simplify и factor:

" simplify jJL2

X k facer >in(ntl)S-n

k=]k = l

X* k4 factor -» — n-(2Q + \)-(n + 1)-(з-ц2+ 3-n - l) k = 1

Сумма n членов гармонического ряда

--► Ри(п+ I) +

к

к= I

В данном выражении у — это константа /Эйлера, fsi - -функция, явное выражение которой имеет следующий вид:

Psi(x) = —Г(х) dx

Чтобы иаЙти численное значение суммы гармонического рада, полученное выше выражен не должно бьпьлрибдиженно подсчитано с использованием оператора Поат К примеру, найдем сумму 100 перпых членов ряда:

Psi(IOl) + у float,4 -» 5.187

Сумму членов конечного гармонического ряда можно вычислить и непосредственным суммированием. Правда, если провести эту операцию аналитически, будет получена уж очень громоздкая простая Дробь:

100

I 14466636279520351 160221518043104 1314477П flf>ftf 5 ]874 k ~* 2788S15009J884990865B1352357412492142272

к = ]

Наиболее простой вид суммирования — это нахождение суммы конечного ряда численно. Обычно он используется в разного рода приблизительных расчетах. Например, если интегральная функция описывается бесконечным рядом, то, чтобы найти ее значение с ограниченной точностью, достаточно просуммировать лишь определенное количество членов этого ряда. К сумме конечного ряда сводятся все основные методы численного интефнронання. В конце концов, оператор суммирования используется при нахождении банального среднего арифметического последовательности значений.

---

Пример 12.4. Задачи, сводящиеся к численному нахождению конечных сумм

Задача t. Не применяя численных методов интегрирования, найти значение интеграла

/•тс

sin(x) -dx

X

О

С точностью до 0,00001.

Данный интеграл является пеберущимся. поэтому вычислить его значение аналитически, при менив теорему Ньютона-Лейбница, невозможно. Однако мы можем рассчитать его приближенно, используя ряды.

Разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора, иснользун оператор series (Рил) нам ели Symbolic (Символьные):

sin(x) ,12 14 1 6

-series ,х,9 I---х +--х---х

х6 120 5040

Попробуем вывести формулу для общего члена данного ряда. Сразу заметим, что величина и знаменателе — это факториал числа, на единицу большего, чем степень ж. Далее отметим, что в ряду имеются лишь члены, которым соответствует четное п. Ряд энакоче>едую1цкйся — следовательно, в числителе формулы общего члена обяэателт,по должен быть множитель (-1 )р. где р — ,тто некое выражение от П. Соединяя все эти факты воедино, находим необходимую формулу:

... * , ,.п 2л sin(x)(-1) -х

х ~(2п + 1)!

а =0

В том, что полученная формула верна, можно убедиться, подсчитай сумму аналитически;

V"" (-1) -х 1 . у--1 --sintx)

i-f (2и + I)! х

□ =0

Проинтегрируем выведенную формулу общею члена ряда. В результате мы получим бесконечный ряд, сумма которого описывает первообразную для H»-sm(x)/x.

(-1) ** (-1)

(2п + 1)Г -2n + 1 (2П + 1)1

002П4 )

Sin(x) , ri , „АяX

(2о + 1)

(2п + 1)Г

Теперь мы можем, перейдя от бесконечного ряда к конечному, применить теорему Ньютона -Лейбница. Но сколько членов ряда взять, чтобы получить результат с нужной точностью? Мы воспользуемся пранилом. гласящим, чти погрешность вопределении суммы сходящегося ряда не превышает величины первого отброшенного члена.

1г+\

г п.

Кг) :=(-])

(2z+ l)(2z+ 1)!

1(1)«=-1.723 К3) = -0.08б я;5) = -б.7х Ю-4 ЦТ) =-].461х iff6

---

Итак, чтобы достигнуть точности я пять знаков после занятой, нужно взять восемь членов ряда первообразной. Тот же результат будет получен, если i мы найдем, определил посредством численного метода решения уравнений, при каком значении аргумента f(z) принимает значение 10"*:

г 15

TOL:= 10 z 2z+l

(-1) Я

(2z + [)T(2z+ I)

in

г."4 го<я(п»,г) = 7.933

При решении данного уравнения был применен довольно тонкий и важный прием, на который стоит обратить внимание. В знаменатель исходного выражения f(z) входит факториал от 2г* I. Следовательно, функция f(z) не является непрерывной и диффере]тируемой, так как она определена только при целых неотрицательных г. Значит, использовать для поиска ее нулей численные методы не получится (а аналитически решить столь сложное уравнение невозможно). Номы можем «схитрить*, заменив факториал Г-функциеЙ Эйлера, При целых положительных значениях аргумента данная функция равна факториалу, так что тождественность не нарушится. Однако Г-функция непрерывна иа промежутке (0, "»), поэтому в результате замены сю факториала функция f(z) станет непрерывной на промежутке (1/2,«). Найти же нуль непрерывной функции численный метол сможет с легкостью. Однако, нужно задать максимальный уровень точности (присвоив TOL значение 10 п), так как порядок величии «чень мал.

Найдя оптимальное количества членов приближающего ряда, подпитываем интеграл:

2п+1

(2п + 1}(2п + 1)!

1.85 194

п =0

Проверяем верность результата с помощью численного интегрирования:

sin(x)

dx = 1.85 194

Задача 2. Функция f(x) задается бесконечным тригонометрическим рядом следующего вида:

cos(7x)

ftx)

2 ж

cos(3x) cos(5x) cos(x) * -1—- +

2549)

С точностью до пяти зиаков рассчитать значение произиодной данной функции в точке х-1 н найти величину интеграла на промежутке от 0 до р. Построить график функции,

Для начала найдем формулу общего члена ряда, задающего функцию. Она довольно очевидна (главное, обратить внимание яз то, что в ряду имеются члены лишь для нечетных п):

ао

тс 4 -ч сов[(2л + 1)-х]

Чтобы можно было вести численные расчеты, следует перс-яти от бесконечного ряда к конечному, суммируя п первых его членов н не учитывая все остальные. Но какое значение нужно присвоить л У Очевидно, что количество суммируемых членов напрямую определяется требуемым уровнем точности. По условию задачи мм должны найти производную и интеграл с пятью вер-

0 ... 126 127 128 129 130 131 132 ... 177