Раздел: Документация
0 ... 161 162 163 164 165 166 167 ... 177 С помощью функции relax, подобрав верные коэффициенты разностной схемы, можно решать и некоторые другие линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Прежде чем перейти к рассмотрению довольно необычного алгоритма релаксации, реализованного во встроенной функции relax, запишем разностную схему для уравнения Пуассона, описывающего процесс распространения тепла при наличии точечного источника f и поглотителя д. я2я2 -Т(х,у) + -=Т(х,у) = -ftXy) + »(xfy) Оно содержит вторые производные по обеим переменным, каждая из которых аппроксимируется по собственной координате согласно известной формуле: Т. , . - 2- Т. . + Т. . .Т. . ,-2-Т. , + Т- • , h-I.j l,j l-ljj1,1+1 lj i,j-l , - + -= -I. , + g. . u2,2 Wl j-J 0tl После несложных преобразований расчетная формула принимает вид , + Т, . , + Т. . r + Tj , .-4-Т, , + Ь2({. .-g. Л=0 С*) Обратите внимание на то, что шаг по обеим координатам берется равный, поэтому в простейшем случае при одинаковых промежутках определения i hj расчетная область представляет собой квадрат (что является необходимым условием корректной работы функции relax). Из приведенного равенства видно, что в точке (i, j) решение ищется как среднее арифметическое между значениями сеточных функций в четырех соседних узлах. Принципиально это возможно, когда заданы граничные условия но всему периметру квадратной области. Разностная схема такого типа получила название «крест». Ее шаблон нрелстзнлен на рис. 14.46, •т Рис. 14.46. Шаблон разностной схемы • крест«для уравнения Пуассона Итак, для i—1—N-1 м j—1...N—1 (для всех точек, находящихся внутри расчетной области) мы имеем систему алгебраических уравнений, матрица каффиниентов которой одержит ненулевые элементы па пяти диагоналях: главной, лнух верхних и нижних соответственно. При использовании функции relax эти элементы задаются в виде матриц а. Ь. с, d, е. Естественно, чтобы система была разрешима, нужно дополнить ее граничными условиями. Пожалуй, основным и довольно существенным недостатком такого подхода является то, что количество уравнений в системе определяется величиной выбранного Шаг*. Стремясь максимально уменьшить его, мы резко увеличим количество точек решетки, для каждой из которых прописывается отдельное у рай teiote. В результате возникнет необходимость решать систему с разреженной (п)ГГ1ЩШ>аиальной} матрицей большой размерности, что, безусловно, приведет к неприемлемым временным затратам. К счастью, из подобной ситуации есть два выхода. Для ускорения решения можно модифицировать для и яти диагональной матрицы алгоритм прогонки, предло-же1шыйдля матриц с тремя диагоналями вподразд, 14.3.2-, однако тогда придется программировать не только систему, но и сам алгоритм. Поэтому с позиции экономии времени и памяти самым оптимальным в данном случае оказывается итерационный метод релаксации. Он требует представления конечно-разностного уравнения в несколько иной форме. Выразим иэ равенства (*) T(J> а затем в правой части прибавим и вычтем Т.: "(Г j-g; j) 2 tfl,J i-lj 1,н-1 i, j— 1 j,j T. . = T. , +- U -J4 Согласно этой формуле, для каждого внутреннего узда последовательно высчитьгаа-ется новое значение исходя из полученного на предыдущей итерации. Предварительно для точек задается начальное приближение с использованием граничных условий. Естестветю, что при большом количестве узлов сетки решение сходится крайне медленно, поэтому в методе релаксации для ускорения сходи мости вводится дополнительный множитель ш: Т. . .+ Т. . +Т. + . ,-4-Т. -t-h2(f. .-а. Л h-1,jj l.J+lIf]\h) *i,}J T, .= T. . + to- A Параметр й) задается формулой, указанной ниже в программе. Обычно его значения находятся в интервале 1<йх2. Таким образом, оптимизированная формула последовательно слева направо и сверху вниз применяется к узлам сетки на каждой итерации. Вычисление продолжается до тех пор, пока разность между значениями во всех точках, полученными на данной и последующей 1ттерацни, не окажется ниже пороговой Величины ошибки или вовсе Не сойдется к точному. Амплитуда колебаний решения уменьшается, оно постепенно «релакенрует» к действительным значениям, отсюда и название мегода. В данном разделе мы рассмотрели лишь незначительную часть задач, связанных с линейными уравнениями в частных производных с постоянными коэффициентами. Их многообразие в теории уравнений математической физики связано с разнообразием явлений окружающего нас мира. В действительности существует очень малое количество задач, решаемых в явном виде, поскольку большинство физических явлений описывается нелинейными уравнениями в частных производных. Однако большое количество различных постановок задач, связанных с решением уравнений в частных производных, привело к тому, что теория численных методов, разрабатываемых в этой области, постоянно развивается и имеет множество направлений. Например, существуют алгоритмы, позволяющие решать одно- и многомерные уравнения параболического типа с переменными, а частности с нелинейно зависящими от решешш коэффициентами. Список литературы t. Гусак А. А. Задачи и упражнения по высшей математике н 2 ч. Ч. I: Для вузов. -2-е ИЗД. - Мн.: «Вышэйшая школа», 1988. - 247 с: ил. 2.Гусак А. А. Задачи и упражнения по высшей математике: в 2 ч. Ч. 2: Для вузов. — 2-е изд. — Мн.. «Вышэйшая школа», 1988. - 229 г.: мл. 3.Гусак А. А. Высшая математика. Учебник для студентов вузов: в 2 т. Т. 1. - 3-е изд. -Мн.: «ТетраСистемс», 2001. - 544 с. 4.Гусак А А. Высшая математика. Учебник для студентов вузов: в 2 т. Т. 2. - 3-е изд. -Мн.: «ТетраСистемс», 2001. — 448 с 5.Гусак А. А.. Бричкова Е. А. Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач. - 3-е изд. - Мн.: «ТетраСистемс», 2002. - 288 с. 6.Гмурмаи В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — 9-е изд. - М.: «Высшая школа». 2003. — 479 с: ил. 7.Гмурмаи В Е, Руководство к решению задач но теории вероятности и математической статистике. 4-е изд. — М.: «Высшая шкода». 1997. — 400 с: нл. 8.Гурский Д. А. Вычисления в MathCAD. - Мн.: «Новое знание», 2003. - 814 с : ил. 9.Гурский Д., Турбина Е. Mathcad для студентов и школьников. Популярный самоучитель. - СПб.: Питер, 2005. - 400 с: ил. 10.Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы / В. К. Егервв, В. В. Зайцев. Б. А. Кордемский и др. Под ред. М. И. Сканави. - Ми «Вышэйшая школа». 1990.-528 с: ил. 11- Ильи* В А , ПознмхЭ. Г. Основы математической) анализа Ч 1. - М,: «Наука», Гл ред. фнэ.-ыат. лит., 1971. — 600 с: ил. 12.Мацкевич И, П., Стрид Г. П., Булдык Г. М Сборник задач и упражнений по высшей математике: Теория вероятностей и математическая статистика. — Мн.: «Вышэйшая школа», 1996. — 318 с: мл. 13.МикуликН. А., Рейзина Г. Н. Решение технических задач по теории вероятности и математической статистике. — Ми. «Вышэйшая школа», 1991. — 164 с: ил. 14.Мэтыаэ Джон Г.. Фиик КуртисД. Численные методы. Использование MATLAB — 3-е изд. - М.: Издательский дом «Вильяме», 2001. - 720 с: ил. 15.Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по высшей математике для инженеров и учащихся втузов. — 13-е нал, - Mj «Наука», Гл. ред. фмз.-мат. лит.. 1986. - 544 с. 16.Воднев В. Т.. Наумович А. Ф., Науманич И. Ф. Основные математические формулы. Под ред. Ю. С. Богданова. - Мн.: «Вышэйшая школа». 1980. — 336 с: ил. 17.Numerical Recipes in С. W. Н. Press. В. P. Ftamery, S. A. Teukalsky, W. T. Vetteriing. -New York: Cambridge University Ргезз, 1992. 0 ... 161 162 163 164 165 166 167 ... 177
|
