Раздел: Документация

0 ... 49 50 51 52 53 54 55 ... 177

5.1. Основные характеристики комплексных чисел * 169

5.1. Основные характеристики комплексных чисел

Имеется несколько величии, позволяющих охарактеризовать комплексное число z-a+b-i. Для их определения в Mathcad используются специальные функции и операторы. Кратко опишем, как можно найти в изучаемой программе основные характернс-тнки комплексного числа (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Число представляется точкой, лежащей в плоскости XOY. Длина вектора г. соединяющего качало координат и точку числа, равна модулю этого числа: проекция этого вектора на ось X соответствует действительной чести числа а, проекция на ось Y — мнимой части Ь; наклон вектора к X определяет аргумент числа

□Действительная часть а. Для ее определения служит функция Re(z).

□Мнимая часть Ь. Находится с использованием функции Im(z).

□Модуль комплексного числа z. Ему соответствует длина вектора, соединяющего начало координат и точку числа на комплексной плоскости. Значение модуля комплексного числа позволяет определить оператор модуля панели Calculator (Калькулятор).

□Сопряженное число г*. Это такое комплексное число, при умножении на которое г получается действительное число. Несложно догадаться, что z—л-ЬЛ, а также что 2Z*~jzj3. Найти t* в Mathcad позволяет особый оператор комплексного сопряжения. Ввести данный оператор можно с помощью сочетания клавиш Shift+«». Обязательное условие прн атом — курсор должен находиться на тексте преобразуемого выражения, иначе будет вставлена текстовая область, вводимая тем же сочетанием. Кстати, оператор сопряженного числа по-своему уникален: это единственный из операторов в Mathcad, который не был вынесен на одну нз панелей семейства Math (Математические).

□Аргумент комплексного числа Представляет собой угод наклона ф вектора, соединяющего в комплексной плоскости начало координат и точку числа. Численно равен арктангенсу отношения мнимой части числа к действительной части: arg(z)-arctg(b/a). Для определения аргумента комплексного числа a Mathcad служит функция arg(z) Строго говоря, с учетом периодичности, аргумент комплексного числа имеет бесконечное множество значений, определяемых соотношением <p-arg(z)+2p-k, где к — любое целое число.

Все описанные выше функции и операторы работают как в режиме аналитических, так и численных расчетов.

---

Пример 5.3. Расчет основных характеристик комплексного числа

Присваиваем числа переменной И пересчитываем era в фо>му I—a+b-L

1 + 1 3 28 1 .

zr=-+ -+ 5z ->----1

1 - i 1 + 2-i5 5

Находим аенс! mi re ihnvio и мнимую части числа, его аргумент, модуль, а также сопряженное

число:

-128

Ыг) -> —Re(z) ~+ —

55

arg(z) -» -atan —

2

argfz) = -О.036 z->-785 г=5.604 I

28 Ir—. 1 1Г—

z->— + -! \/zz-+--785Jzz = 5.604

5 55v

5.2. Формы представления комплексных чисел

Известны 1 [Hi фирмы представления комплексных чисел,

□Алгебраическая форма. Наиболее простая и традиционная: z-a+b-i.

□Тригонометрическая форма Число в данном случае определяется через соотношение z-r(cos(<p)+iSin(<p)), где г - модуль комплексного числа, <р - его аргумент.

□Экспоненциальная форма z-re".

Mathcad умеет полноценно работать только с комплексными числами в алгебраической форме. Именно в ней чаше всего представляются результаты аналитических расчетов, и только в ней - численных. В тригонометрическую форму программа переводит лишь числа, представление в экспонегтикальной форме и упрощаемые с помощью оператора complex панели Symbolic (Символьные). И нет такой операции, в результате которой было бы получено комплексное число в экспоненциальной форме (если не гчитать операций вроде символьного интегрирования е" от -1 до i).

Что же делать, если результат необходимо представить именно в тригонометрической или экспоненциальной форме? Тут имеется два пути. Во-первых, вы можете составить нужное выражение самостоятельно, подсчитав модуль и аргумент комплексного числа. Во-вторых, можно создать функцию, которая будет записывать строку с ответом. У этого пути есть недостатки. Так, полученный ответ нельзя будет использовать в дальнейших расчетах, а также он будет «испорчен» скобками. Кроме того, подобная функция не может быть просчитана аналитически. Однако ничего лучшего для автоматизации преобразования комплексных чисел из одной формы в другую в Mathcad сделать нельзя. В методических целях продемонстрируем оба подхода к переводу комплексных чисел из алгебраической формы в тригонометрическую и экспоненциальную.

---

5.3. Операции над комплексными числами * 171

Пример 5.4. Представить число m=1+i в тригонометрической и экспоненциальной форме

Чтобы решить задачу первым способом, находим модуль числа и его аргумент, а затем подставляем их в формулы:

га:= I + i

Тригонометрическая форма:Экспоненциальная форма:

к

Vie *

Выполняем проверку (система автоматически пересчитывает число из любого представления в алгебраическое):

1 + 1 4

>/2е =l + i

Второй способ заключается в том. что формируется строка с ответом. Для этого используется функция concal, объединяющая подстроки в одну строку. Для перевода чисел в строки применяем функцию num2rtr.

1ПйДг):*сопса1(пшп2«г(2),,*(сов(" ,num2str(arg(z)),,,)+i*5iB(" ,nma2ati(arg(z}),,,))n) expQz) ."сопмЦйигпЗйгОг!)."*!* ,nuin2iti(arg(z)).T)

trigai + 0=n,4U2!33623731*(0.785398163397448)+i*sin(0,785398163397448}

expC(l + 0 = "1,4142135623731 *(eAi*0,78 5398163397448)"

Довольно часто конллекспые числа получаются в форме, а которой действительная и мнимая части не разделены. Чтобы привести такое число к стандартному виду алгебраического представления z-a+bi, следует задействовать символьный оператор complex. Также данный оператор осуществляет перевод числа из экспоненциальной формы в тригонометрическую.

Пример 5.5. Использование оператора complex

5 + i . .4.i

"—— complex -»-l-iS.t complex -+ 5-cos(4) + Si-sin(4)

5.3. Операции над комплексными числами

Такие арифметические операции, как сложение, вычисление разности, умножение, деление, возведение в степень над комплексными числами в системе Mathcad можно

0 ... 49 50 51 52 53 54 55 ... 177