Раздел: Документация
0 ... 72 73 74 75 76 77 78 ... 177 J2 + fi + J~522 7.3. Вынесение общего множителя за скобку Вынести общий множитель за скобку в выражении можно с помощью символьного оператора collect (Собрать). Определить, по какой переменной нужно производить данное преобразование, можно, введя ее имя в правый маркер оператора. Вынесение общего множителя может быть осуществлено как по одной, так и по нескольким переменным. В последнем случае имена переменных нужно указать через запятую в маркере оператора collect в той последовательности, в которой они должны быть вынесены за скобку. В случае дробных выражений вынесение общего множителя за скобку будет проводиться как в числителе, так и в знаменателе. Если слагаемые должны быть распределены по нескольким группам, то выражение придется разделить на части и one- Пример 7.5. Преобразование десятичных дробей в обыкновенные 18379 27 O.125fector -*r- 1.674factor -+— 0.45 + 0.54-ifactor -> — +—i 850020 50 Нижележащий пример демонстрирует, как результат численного интегрирования можно перевести в символьную форму. 5. еЗ 44 — dx= 0.24992 0.24992facior -у —— dx — 250031252500 3125 "1Jl Очень важной для практики операцией, для проведения которой используется оператор factor, является приведение к общему знаменателю выражения из двух или более дробей. Причем, в числитель и знаменатель дробей могут входить совершенно любые функции и их сочетания. Приведение к общему знаменателю - это один из основных ходов, применяемых при упрощении выражений. Пример 7.6. Приведение дробей к общему знаменателю ! + 1 + 1 + L fector х3 + х2-у + 2.х2+х.у + х+у х х2 * + ух2.(х+у) В задачниках для поступающих в вузы довольно часто встречаются задачи, в которых требуется так преобразовать арифметическое выражение, чтобы в знаменателе исчезла иррациональность (то есть как-то все корни нужно перенести в числитель). Задачи такого рода требуют весьма значительных выкладок, однако оператор factor справляется с ними с легкостью. Пример 7.7. Избавиться от иррациональности в знаменателе арифметического выражения ill 11 6factor z!.2V.5222+32 7,4. Разложение на элементарные дроби «. 239 рировать с каждой из них но отдельности (или, что вероятнее всего, выполнить эту работу придется самостоятельно). Также нельзя вынести за скобку произведение двух переменных. В выражениях иа функций вынести общий множитель за скобку можно, прописав нужную функцию в правом маркере оператора collect Если же необходимо вынести за скобку несколько множителей-функций, их, как и в случае переменных, необходимо последовательно прописать через запятую в маркере оператора collect. Оператор collect объединяет в одну группу члены, в которые переменная, по которой проводится преобразование, входит в одинаковой степени. Поэтому, например, выражение xJ+x+l не будет представлено им как х-(х+1)+1, Вообще же, группировка членов многочлена « лучшим образом* — это чрезвычайно нагруженная интеллектуально задача. Поэтому оператор collect, в общем, довольно редко используется на практике. Из-за того, что нельзя указать, какое именно выражение должно быть вынесено за скобку, он малополезен для большинства задач. Увы, но их пока придется решать на бумаге. Пример 7.8. Вынесение общего множителя за скобку 3 2 33 22232222 ,./2322ЧЗ/3222\2 x-yz+xyz + ху - z + х-у z collect, х -> i у -z +y - z Jx +ly z + у z x 323322 232 222 „2 3 2 ГУз 3 2 2"1 2 xy-z+x-yz + xy-z + xyz collect, у, x,z X -y -z +[\z + z -x + x-z J-y sint.x.l eos(x)" - sin(x) col!eci,sin(x) ~* cos(x)2 + !sin(x) a 2 xxxex 2x с cos(x) + 5e sin(x) + Зх-е -cos(x) - — sin(x) collect, cos(x), sm(x), e -» -» 2-x2 + 3-x-ex-cos(x) + f 5 - -\е*-ящ(х) 7.4. Разложение на элементарные дроби Одной из самых объемных и трудных в вычислительном плане задач символьной алгебры является разложение какого-то сложного дробного выражения на более простые, в идеале — линейные, дроби. Эта задача важна прежде всего при подсчете интеграла от отношения двух полиномов и встречается в любом вузовском типовом расчете по математическому анализу. Кроме того, разложение на элементарные дроби — это одна из основных операций, использующихся при упрощении выражений. В Mathcad имеется специальный символьный оператор convertparfsc (от англ. Convert со Partial Fraction - разложить на элементарные дроби), проводящий рассматриваемую операцию. Вводится он нажатием кнопки parfac панели Symbolic (Символьные). В его левом маркере прописывается подлежащее- преобразованию выражение, в правом — переменная, исходя из которой преобразование должно проводиться (программа не может самостоятельно различить переменную и параметры). Обычно на элементарные дроби раскладывается выражение, представляющее собой отношение полиномов. Однако можно разложить и выражение, в котором в качестве переменных полинома выступают функции (см. третье преобразование в примере 7.9). х - Зх+ 2(х- 1) -Зх2 * (2Ь + 2в + 2с)-х- Ь с -а-Ь -1-е-II 1 -convert,р агаве, х -+ 3 , , ч 2, . .х-а х-с х-Ь X + t-a - Ъ - с)-х + (Ъ-с + а-Ь + ас)х - abc cos(x) + 2мп(х).I tI -:-convert. рапгас, sin(x) -»-+- sin(x)(cos(x) + вш(х))sin(x) cos(x) + sin(x) Очень полезен оператор convert parfac для упрощения интегрирования рациональных функций. Конечно, найти первоо6разгую в Mathcad можно и сразу, используя оператор неопределенного интеграла напели Calculus (Исчисление). Однако такой подход не всегда приемлем. Например, если вы студент и решите домашнее задание, то без промежуточных выкладок не обойтись. При интегрировании же рациональных функций самый трудоемкий И скучный этап — это разложение отношения полиномов на элементарные дроби. Именно его стоит доверить Mathcad. Пример 7.10. Интегрирование рациональной функции Пусть стоит задача найти интеграл от функции вида: х + 5х - 13х- 9 х4- 10х2+9 Данная функции является рациональной, поэтому к форме, пригодной для прямого интегрирования, она приводится разложением на элементарные дроби. д3 + 5х2-13х-9„1111 -convert, рапгас,х —> — - —— + — н-- ,4 ]0х2+9х-1 х+3 2.(х-3) 2.(х+1) ПроНлтефировать полученное выражение очень просто, помня, что первообразной для l/а является 1п(а). Итак, ответом будет Ых- Ц-Ц«+ 3) + 1цж - 3) +I) + С = lrJ(X W(* + )(Х- 3) 22х+3 + С Аналогичный результат будет получен и прн использовании оператора неопределенного интеграла: Г 3 2 х + 5х - 1 Зх- 9II -dx-> Цх- 1) - 1п(Х+ 3) + -1г<х-3) + - ln(x + 1) х4-10х2+922 Пример 7.9. Разложение на элементарные дроби выражений различных типов х2 + 5.12 convert .pjrtracs 0 ... 72 73 74 75 76 77 78 ... 177
|
