Раздел: Документация
0 ... 10 11 12 13 14 15 16 ... 87 2.3.1. Матрица жесткости Для моделирования упругих одномерных элементов конструкций, несущих изгибнуц нагрузку (балки), используют балочный элемент. Характеристиками этого типа конечнц элементов являются длина элемента L, момец инерции площади поперечного сечения I и % дуль упругости Е. Линейный балочный элемент схематично показанный на рис. 2.12, ограничу двумя узлами i и j, каждый нз которых имеет, щ, минимум, две степени свободы: прогиб V н ущ поворота сечения относительно осн 9 = dv/dx. В узлах действуют перерезываю.] щая сила F и изгибающий момент М тельно оси Z.
Puc2J2 Согласно элементарной теории изгиба: ОТНОСЦ. My (2.») (2.22) Используя результаты теории балок, вычисляем коэффициенты матрицы жесткости) системе координат*, г для элемента с узлами!, j (рис. 2.12): V,-
(2.23! Реальные балки воспринимают не только сдвиговые нагрузки и изгиб, но и осевые * грузки. Матрицу жесткости для балочного элемента в этом общем случае получим ко» бинированием матрицы жесткости (2.23) с матрицей жесткости для стержневого элемент (2.17): 23. Балочный элемент к = ЕА L О О ЕА L О -О Обратим внимание на то, что элементы матрицы к имеют различные размерности. Это связано с тем, что н компоненты векторов перемещений, н компоненты сил также имеют различные размерности ([м], [рад] и [И], [Нм] соответственно). Для вычисления матрицы жесткости в пространственной системе координат она записывается сначала в плоской локальной системе координат, а затем переводится в глобальную пространственную систему координат. Рассмотрим несколько примеров.
2.3.2. Примеры Рис.2.13 Шимер 1. Брус (рнс. 2.13) защемлен с двух концов н нагружен посредине сосредоточенной силой Р н изгибающим моментом М. Определить смещение н угол поворота узла 2, а та°ке опорные реакции. ££Щение. Сформируем матрицы жесткости отдельных элементов: V; в] V2 в2V2 в2 V3 в3 Е1 126L -126L 6L4L2 -6L21? -12-6L 12-6L 6L 2L2 -6L 4L2 к2~7 6L -12 6L 4L2 -6L 2L2 12 6L -12 -6L 12 -6L 6L 21? -6L 41? Запишем глобальное конечно-элементное уравнение El
и зададим граничные условия: V/ = v3 = 0, 61=63= 0, F2y = —Р, М 2 = М. i учетом этого глобальное конечно-элементное уравнение в матричной форме будет выпц. деть следующим образом:
Решением этого уравнения является:
Из глобального конечно-элементного уравнения получаем формулы для реакш опор:
Напряжения на концах бруса можно вычислить по формуле: My — re — . s a = aY = - Задача решена. У 1 111 11111111 Пример 2. Дана консольная балка, нагружен* поперечной равномерно распределенной нагрузи" р (рнс. 2.14). Определить смещение и угол повор та правого конца балки, а также реакции опоры. х Решение. Сначала рассмотрим вопрос приведен &>1*распределенной нагрузки к узлам. Можно показе что нагрузка трансформируется к узлам, как гкЛ зано на рнс. 2.15. Проверить правильность э1 Рис.2.14схемы можно, сравнивая величину упругой рабе! деформации для обеих схем. Применение этого к данной задаче приводит к расчетной схеме, показанной 1 1 рис. 2.16. Здесь: / = pL/2, fit = pL2 jl2. 0 ... 10 11 12 13 14 15 16 ... 87
|
