Раздел: Документация

0 ... 6 7 8 9 10 11 12 ... 87

Здесь f!" — внутренняя сила, действующая на 1-й узел элемещ,

т (i = 1,2,3, Ш = 1,2). Поскольку на узел могут действовать несколько сил, то введ новое обозначение Fi для сил в узлах. Итак, на узлы действуют силы:

на узел 1: F} = fj; иаузел2: F2 = f\ +/£; иаузелЗ: F3 =/32.

Для составления матрицы жесткости системы элементов рассмотрим равновесие си,-действующих на каждый из узлов:

F, =

kiurkiur

F2=-klUlkl+k2U2-k2U3

F =

или в матричной форме:

—к и + к и

2 2 2 3

О

кА+\к„ -к

О

2 I I

	и		F
	J
<	U2		F2	или ku = f
	и 1 3,		F 1 з]

(узел! (узел; (узел]

(2.2

где к — матрица жесткости системы элементов.

Из условий равновесия ясно, что если в узле нет внешней силы (или реакции опоры то для него F = 0. Одновременно укажем, что сумма сил в столбце F уравнений (2.2) равя: нулю.

Для наглядного представления о способе получения матрицы жесткости системы эле ментов в приведенном выше матричном уравнении пунктирными линиями выделены мат рицы жесткости 7 н 2 упругих элементов в отдельности. Видно, что так же, как н элемек ты в конструкции, матрицы жесткости элементов «сцеплены» в общем узле 2. Таким обр» зом, главные диагонали матриц жесткости элементов совпадают с главной диагональю об щей матрицы жесткости. Видно, что на диагонали стоят суммы жесткостей элемента примыкающих к данному узлу.

Для введения граничных условий предположим, что узел 7 на рнс. 2.4 жестко закрег леи (в нем сила F, — реакция опоры), а в узлах 2 н 3 приложены силы Р. В этом случае:

U]=0,F2=F3=P,

и мы получим:

Отсюда:

-к,

~к1 к,+к2

-к.

О -к,

о
и2		Р
»3.		Р

Fj=-kju2

kj + к2 к2

-к,

Здесь неизвестными являются 7*, » мз •

---

Решая приведенную выше систему уравнений, получим:

и2 = 2Р/к,; и3 =2P/kj + Р/к2; F} = -2Р.

А теперь вернемся к схеме ступенчатого стержня, изображенной на рис. 1.34. Рассмотрим его как систему из двух последовательно соединенных упругих элементов с же-

v EiA t -ЕА2

сткостями *, =—ji- нК2- —-—.

учтем следующие граничные условия: в узле 3 приложено усилие Р, в узле У действует реакция опоры Fj, узел 2 свободен от внешних нагрузок, смещение в узле / U = 0. После подстановки соответствующих значений в (2.2) получим матричное равенство:

к.

к1 + к2

	0
•	"2	• -	0
	"з.		р

или

к]+к2

-к.

-к.

2 J

И,

;F] = -k]u2.

Решение матричного уравнения (2.3) дает:

U2=T; U3=P К1

1 1

+

К 1 2)

;Fr-P.

(2.3)

В принятых здесь обозначениях это совпадает с раиее полученным решением (1.19 а), а также с решением методами сопротивления материалов.

В качестве примеров рассмотрим различные схемы соединения упругих элементов. На схемах во всех примерах силы, действующие иа узлы, в некоторых случаях условно показаны над этими узлами.

Р кз

2.1.3. Примеры

Поимев 1. /Для показанной на схеме системы трех последовательно соединенных упругих элементов дано: к =100 П/мм;

к2 = 200 Н/мм; к3 = 100 Н/мм;

Р ~ 500 Н; и =и =0 .Определить: а) глобальную матрицу жесткости; б) смещения / 4

пов 2 и 3; в) реакции опор; г) усилие в элементе 2.

---

В следующем параграфе перейдем к рассмотрению различных типов конечных эле. ментов, наиболее часто используемых при упругом статическом анализе напряженно, деформированного состояния конструкций.

2.2. Стержневой элемент

Рассмотрим стержень постоянного сечения, воспринимающий только осевую нагруз. ку (рнс. 2.5).

j О

Рис.2.5

Стержневой элемент характеризуется длиной L, площадью поперечного сечения а н модулем упругости материала Е. Будем рассматривать зависимости осевых перемещений U — и{х), относительной деформации S = s{x) н напряжений О = (т{х) от

координаты точки на осн стержня. Из курса теории упругости известны соотношения между деформациями н перемещениями £ = du/ dx, между деформациями н напряжениями G = Е В.

2.2.1. Матрица жесткости стержненого элемента

2.2.1.1. Построение матрицы жесткости Предположим, что перемещение И изменяется линейно вдоль осн элемента:

L)

х

и. ч—и . L 1

Тогда мы получим:

£ =

и. — и.

j i

л .

= —, где Л Li

а = Ее =

удлинение элемента,

ЕЛ

Кроме того, известно:

(Т = —, где F — сила, действующая на брус.

А

Из (2.7) и (2.8) получаем:

ЕА

F = —А = кЛ, L

(2.5)

(2.6) (2.7)

(2.8)

(2.9)

где к —-— жесткость бруса, т. е. брус в данном случае работает подобно упругом;

L

элементу, н матрица жесткости такого элемента принимает вид:

ЕА

ЕА	ЕА
L	L
ЕА	ЕА
L	L .

, или к=

(2.10)

0 ... 6 7 8 9 10 11 12 ... 87