Раздел: Документация

0 ... 7 8 9 10 11 12 13 ... 162

Пример

2*, +х, + *4 = 7 < Зле, + 2х3 = 8

+ = 9

Составим расширенную матрицу этой системы:

Нетрудно увидеть, что данная система имеет два базиса переменных: {Х2, Хз, Xs}, {х4, х3, х5}. Решим эту систему, например, относительно первого базиса: Хг = 7 - 2x-i - Х4, 2хз = 8 - 3xi, Х5 = 9 - 4xi; здесь переменные x-i, х4 - свободные и могут принимать произвольные значения, по которым затем определяются значения базисных переменных.

Этот пример помогает заметить следующее очевидное утверждение: если система имеет базис переменных, то она разрешима относительно этого базиса, при этом при наличии свободных переменных система будет иметь бесконечно много решений, а при их отсутствии значения базисных переменных определяются однозначно.

Метод Гаусса, описанный ниже, позволяет с помощью элементарных преобразований привести систему к виду, содержащему базис переменных, либо установить отсутствие решения.

Шагом алгоритма метода Гаусса будем считать переход от системы линейных уравнений к равносильной системе, имеющей большее число столбцов с единственным ненулевым элементом. Для удобства пользования вместо системы уравнений будем преобразовывать соответствующую ей матрицу. Ниже приведено описание шага алгоритма. Алгоритм прекращает работу при установлении неразрешимости системы или при невозможности выполнения очередного шага.

Алгоритм

□ Пусть после к предыдущих шагов (к > 0) получена матрица Мк Если матрица содержит противоречивую строку, то алгоритм прекращает работу. В этом случае исходная система неразрешима. В противном случае удаляем все нулевые строки матрицы Мк, если они есть. Обозначим полученную матрицу через Nk. Выберем ненулевой элемент матрицы и назовем его разрешающим элементом. К этому элементу предъявляется единственное требование: чтобы на предыдущих шагах он не выбирался в качестве разрешающего. Столбец и строка, содержащие разрешающий элемент, также называются разрешающими.

С помощью элементарных преобразований все остальные элементы разрешающего столбца превращаем в нули. (Это, например, можно сделать последовательным прибавлением к строкам матрицы Nk разрешающей строки, умноженной на подходящее число.) Таким образом, построена матрица Мы. Переходим к следующему шагу.

Пример 1

Решить систему уравнений:

х, +2сг + 3х, =2

Х\ ~ Х2 ~ Х1 ~ "2

X. TJA, - Л. = -2

Перейдем к соответствующей матрице:

В дальнейшем подчеркнутые элементы в матрицах являются разрешающими, а стрелки с числами указывают, на какое число умножается разрешающая строка и к какой строке затем прибавляется.

				< 1 =>

	<--2
						=>

				<--11						= -]
									-> я,
					1°			°J

В этом примере свободных переменных не оказалось.

Пример 2

Решить систему уравнений:

Перейдем к матрице:

I 3 0 14

1 1 -1

0 -2 -1

14 -7

fx, =14-3jc2

jCj = 14 - 3x2

В этом примере хг - свободная переменная, а*1 и хз - базисные переменные.

Пример 3

Решить систему уравнений:

3*, + 2* 2+5*3 + 4*4= 3

*, -х2-*3 -4х4 = -2 -2х i +2х2 + 2х-1 + 8*4 = 4*, + *2 + 4*, = 2

Перейдем к матрице:

-2 4

2 - 1 2 1

4 1 1 -1 4 1

5 -1

-4 О

	«-2

4 1 1 -1 О О

4 1

4 -I

Я 2 J

1 >				4 0
				J - 4

Нижняя строка противоречивая, поэтому система не имеет решений.

Компьютерный раздел

При определении элементов матрицы и операций над ними часто приходится использовать так называемые ранжированные переменные, принимающие значения из заданного промежутка с равными интервалами- шага изменения. Пусть, к примеру, требуется определить ранжированную переменную г va г с начальным значением а. конечным значением J и с заданным шагом изменения h, В этом случае в нужном месте рабочего листа вводится имя переменнойзнак

присваивания :- и затем через запятую значения а и a +h; после этого клавишей <;> вводится знак и на месте появившейся метки вводится Ь. Если конечное значение Ь при заданном шаге h не достигается точно, то последним значением переменной будет наибольшее возможное значение, не превышающее Ь. Выражение a + можно опускать. В этом случае шаг по умолчанию равен 1 (если Ь больше а) или -1 (если Ь меньше а).

Следует различать знаки равенства и логического равенства, которые на экране почти неразличимызнак равенства отличается только полужирным

шрифтом). Знак равенства, вводимый клавишей < = >, используется для получения на экране численного значения выражения, предшествующего этому знаку. Иное -

0 ... 7 8 9 10 11 12 13 ... 162