Раздел: Документация

0 ... 10 11 12 13 14 15 16 ... 162

Глава 5

find

Следствия метода Гаусса

Система (3.1) называется однородной, если все ее свободные члены сь с„ равны нулю.

Используя обозначения в формулах (3.1)-(3.2), запишем однородную систему линейных уравнений в матричном, векторно-матричном и векторном видах:

АХ = О,

[3г-х]=0(5.1) [5,„-f/ = 0

Ах" = б\ хД +... +(5.2)

Очевидно, что любая однородная система имеет нулевое решение. Очень важен вопрос существования ненулевого решения.

Следствие 5.1. Однородная система, в которой число уравнений меньше числа переменных, имеет ненулевое решение.

Доказательство. Применим к данной системе алгоритм метода Гаусса. Так как последний столбец исходной расширенной матрицы состоит только из нулевых элементов, то в процессе элементарных преобразований он таковым и останется. Это означает невозможность появления при решении противоречивых строк. Поскольку число столбцов и, следовательно, число переменных останетсяа число строк

может только уменьшиться за счет вычеркивания нулевых строк, то в конечной системе число переменных будет по-прежнему больше числа уравнений. Но базисных переменных в системе столько же, сколько и уравнений. Поэтому последняя система будет обязательно содержать свободные переменные. Отсюда следует, что система имеет

бесконечно много решений, в том числе и ненулевых. Следствие доказано.

Следствие 5.2. Если т < п, то для любой системы т векторов а,, tf2, 5„, размерности п существует ненулевой вектор г, ортогональный с каждым вектором из этой системы.

Доказательство. От данной системы векторовперейдем к одно-

родной системе (5.1), в которой число уравнений т будет меньше числа переменных Поэтому эта система в силу следствия 5.1 имеет ненулевое решение г , что и завершает доказательство.

Следствие 5.3. Пусть дана произвольная система векторов b„ Ь2, ... ,\ .Линейная зависимость этой системы векторов равносильна существованию ненулевого решения соответствующей однородной системы (5.2).

Из этого следствия вытекает, что линейную зависимость системы векторов можно проверить с помощью метода Гаусса, решив соответствующую однородную систему линейных уравнений.

Пример

Проверить линейную зависимость системы векторов;

Решив эту систему методом Гаусса, получим Xi = Зхз, Хг = - 2хз, что в частности означает наличие ненулевого решения. Поэтому по следствию 5.3 исходная система векторов линейно зависима.

Следствие 5.4. Если в системе число векторов превосходит их размерность, то система линейно зависима.

( Определение )

Система векторов из R" называется базисом пространства R", если эта система линейно независимая и любой вектор из R можно представить в виде линейной комбинации векторов этой системы.

Следствие 5.5. Линейно независимая система векторов из R" является базисом, если и только если число векторов в ней равно

Доказательство. Предположим вначале, что линейно независимая система векторов состоит из п векторов 5,, 52, а„ в R". Добавим к этой системе произвольный вектор

be R". Новая система "а,, "а2,Ь будет линейно зависимой в силу следствия 5,4.

Поэтому выполняются условия теоремы 2.2, в силу которой вектор Ъ представим в виде линейной комбинации векторов "а, ,Ъ2, а„ , т. е. "а, ,"аг,Ъ„ - базис.

Докажем теперь обратное утверждение. Рассмотрим произвольную систему векторов й,,<72, ... ,я„,еR", где т<п. В силу следствия 5.2 существует ненулевой вектор z, ортогональный с каждым из векторов этой системы. Если бы система векторов а,, аг, ... , Ът была бы базисом, то вектор z был бы представим в виде:

U = (3,1.4), Уг (5, 2,3), й = (1, 1,-6). Составим соответствующую однородную систему линейных уравнений:

расширенная матрица которой равна:

z=k,a, +Х,я, +... +Xa„.

Умножим обе части этого равенства скалярно на вектор z : [z ?]=[(+ K2d2+... + W5W)Z],

\zf =\i[arz]+,.. + \„1[aIH -г], У 0 + ... + ?.,„ 0 , откуда Ы= 0 .

Последнее возможно только если Z - нулевой вектор (см. задачу Т1.1). Полученное противоречие доказывает следствие.

Следствие 5.6. Квадратную матрицу можно привести к единичной матрице того же порядка элементарными преобразованиями строк, если и только если система строк этой матрицы линейно независима.

Доказательство. Вначале предположим, что в квадратной матрице А порядка п система строк линейно независима. Рассмотрим однородную систему уравнений ЛЛ = 0 и применим к ней алгоритм метода Гаусса. По аналогии с доказательством следствия 5.1 можно заключить, что в процессе алгоритма не могут появляться противоречивые строки. Более того, не могут также появляться и нулевые строки: по теореме 2.3 элементарные преобразования сохраняют линейную независимость строк матрицы а наличие нулевой строки противоречило бы этому (см. задачу Т2.2). Итак, алгоритм метода Гаусса должен привести исходную расширенную матрицу (АО) к матрице размера п х (п +1) с нулевым последним

столбцом, в которой первые п столбцов будут соответствовать базису из п переменных. Применив теперь к этой матрице элементарные преобразования типа 1,

можно добиться того, что все ее ненулевые элементы станут единицами. Затем перестановкой строк, которая также осуществляется с помощью элементарных преобразований (см. задачу Т2.5), последняя матрица приводится к единичной,

если при этом удалить последний нулевой столбец.

В случае, когда строки квадратной матрицы А линейно зависимы, по теореме 2.3 эта зависимость будет сохраняться при элементарных преобразованиях и поэтому единичная матрица получиться не может, так как ее строки линейно независимы (см.

задачу Т2.3). Следствие доказано.

Следствие 5.7. Строки квадратной матрицы линейно независимы, если и только

если линейно независимы ее столбцы. Доказательство следствия дано в задаче Т5.2.

С Определение )

Квадратная матрица называется невырожденной (вырожденной), если ее строки линейно независимы (зависимы).

Следствие 5.7 означает, что определение вырожденности матриц не изменится, если слово "строки" заменить "столбцами".

0 ... 10 11 12 13 14 15 16 ... 162