Раздел: Документация
0 ... 12 13 14 15 16 17 18 ... 162 придем к линейно независимой системе из п векторов, которая и будет искомым базисом в силу следствия 5.5. Т5.7. Указание: воспользоваться решением задачи Т5.6. П5.21. В силу следствия 5.5 в пространстве /?J любая тройка линейно независимых векторов образует базис. Поэтому необходимо доказать линейную независимость векторов д, Ь, с . Кроме того, представить вектор d в виде линейной комбинации векторов й, В, с - это значит решить линейную систему уравнений хха -\-х,Ь+х3с -11 . Решим эту систему методом Гаусса. Одновременно отметим, что в силу утверждения в задаче Т5.5 векторыс линейно независимы, если и только если эта система имеет единственное решение. Итак:
Откуда имеем: х2=1, дг, = 1, х3 = -1, т. е. d-- la + \b -\С . П5.42. Вначале найдем ненулевой вектор с , ортогональный с векторами а и h . Для этого необходимо решить однородную систему линейных уравнений: j[a-x]= ОГ 2х, + .г1 + 3х=0 \[E-~x]=Q[-*, + х2 +3ху -2х,=Ь Решим ее методом Гаусса: 1° 2 0 13 -1 13-2] 10 1/2 3,7 v0 I 7/2 -1/2 1 0 -1 1 1/2 3/2 3 -2 3 „ 4 2 J 2 " Пусть*, = x4= 1, тогда-тi =-2, *г = -3. Вектор с~= (-2, -3, 1,1)-искомый. В силу утверждения задачи Т5.7 система векторовлинейно независима. Найдем теперь ненулевой вектор d, ортогональный с векторами a, b, с ходимо решить однородиую систему линейных уравнений: [а - х] = О [В -~х] = 0 , [с -~х] = 0 Решим ее методом Гаусса; (2 0 1 3 0) ( -1 13 -2-3 1 0 10 3 -2 -5 2* + *-, + 3*4 = 0 - * + х2 + 3*з - 2* -2* -3*2 +*з *4 =0 Для этого необ- 5 1 1 -1 -2 I 0 0 0 1 v1 0 7 do х4 = -5*3 -6х, *, = 7*з Пусть*3 = 1, тогда*, = -5,*2-6, х,= 7. Вектор d = (7,-6, 1,-5) искомый. Опять-таки в силу утверждения задачи Т5.7 система векторов а, Ь,"с, d линейно независима. Но тогда эта система в силу следствия 5.5 является базисом пространства R4 Глава 6 Обратные матрицы Пусть А и С - квадратные матрицы порядка я. Решить матричное уравнение - АХ=С(6.1) это значит найти такую квадратную матрицу б, что АВ = С. При этом В называется решением матричного уравнения (6.1). Непосредственно из определения операции умножения матриц вытекает следующее утверждение. Утверждение 6.1. Матрица В является решением матричного уравнения (6.1), если и только если ее столбцы 6, , Ь2,Ь„ являются соответственно решениями п систем линейных уравнений Ax =ct, Ах =12,.., Ах = с„ , где с, , с2, ...,с„ - столбцы матрицы С, ЗГ = (Х, ... ,х„). Матричному уравнению (6.1) можно поставить в соответствие расширенную матрицу К = (АС) размера п * (2я), приписав справа к матрице А матрицу С. В то же время любой матрице размера п х (2л) можно однозначно сопоставить матричное уравнение вида (6.1), положив, что первые и столбцов в К составляют матрицу А, последние пматрицу С. В этих случаях матрицу матричное уравнение (6.1) будем называть Из утверждений 6.1 и 4.2 вытекает следующее утверждение. Утверждение 6.2. Элементарные преобразования расширенных матриц не изменяют множеств решений соответствующих матричных уравнений. Теорема 6.1. Пусть в уравнении (6.1) матрица С является единичной, т. е. С = Е. Тогда уравнение (6.1) имеет решение, если и только если матрица А невырожденная. Доказательство. Согласно следствию 5.6 существует такая последовательность <т элементарных преобразований строк матрицы Л, которая приводит матрицу А к единичной матрице того же порядка в случае невырожденности либо к некоторой матрице N того же порядка, содержащей хотя бы одну нулевую строку, в случае вырожденности А. Применим последовательность а к строкам расширенной матрицы После того как "левая половина" этой матрицы приведется к правая приведется к некоторой матрице D. В силу утверждения 6.2 пары матричных уравнений АХ = Е и EX =D (или АХ= Е и NX= D) имеют одинаковые множества решений. Рассмотрим первую пару. Очевидно, решением уравнения EX = D является матрица D (см. теорему 3.1) и, следовательно, £> является решением уравнения А= Е. Рассмот-  0 ... 12 13 14 15 16 17 18 ... 162
|
