Раздел: Документация

0 ... 14 15 16 17 18 19 20 ... 162

	1 2
=>
	0- 5

1 0 9 О 1 -7 О 0 -27

-i О

0 -1

откуда г

-1 5

100 010 0 0 1

27 27

	8"

27 27

Тогда искомое решение определяется равенством

2 8

2727

2727

Глава 7%r:=Z:

find

Определители

Условимся в дальнейшем через 4* обозначать матрицу, полученную из матрицы А

удалением /-Й строки и к-го столбца. Считаем также, что на позиции {/, к) в А находится элемент aik.

Каждой квадратной матрице А по определенному правилу ставится в соответствие некоторое число, называемое определителем матрицы и обозначаемое через А \. Ниже дается индуктивное определение этого понятия.

(""Определение ~)

Если квадратная матрица А = (ац) имеет порядок 1, то ее определитель равен ац. Если порядок л квадратной матрицы Л больше 1, то алгебраическим дополнением элемента а* в матрице А называется число + А1к\, которое будет

обозначаться А* (здесь \А,к - определитель матрицы 4 ) .Определителем

матрицы А называется сумма произведений элементов первой строки на соответствующие им алгебраические дополнения:

\А\ = ацДцаДг-»-... + а,пДл.

Пример

\а\\ а\~> )

Вычислим определитель матрицы Л =i ~ i второго порядка:

\аг\ ап)

\А\-ъиА + ai2iAi2 = ац(-1)1+1 а22 + а,2(-1)1+2 а21 = ац а22 - ai2 a2i.

В приведенном выше вычислении определителя первая строка играет особую роль. Однако следующая теорема, приводимая без доказательства, показывает, что в этой

роли может выступать любая строка или любой столбец.

Теорема 7.1. Определитель квадратной матрицы Л, порядок которой больше 1, равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения:

Эти равенства называются разложением определителя по ;-й строке (А-му столбцу).

Свойства определителей:

Свойство 7.1. Если квадратная матрица содержит нулевую строку (нулевой столбец), то ее определитель равен 0.

Свойство 7.2. При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняется на противоположное число,

Доказательство. Предположим, что в А переставляются две соседние строки: /-я и (/+ 1)-я. Вновь полученную матрицу обозначим В. Очевидно, что для каждого к

А,г- в,.и Но А-,к = {-\)+к\А,к . Поэтому В1+1 4 к\В1+\= -Раз-

ложим теперь определитель матрицы В по (/ + 1)-й строке:

Теперь предположим, что нужно переставить ;-ю и (/ + у)-ю строки в матрице Л. Эту перестановку можно осуществить посредством 2/ - 1 перестановок соседних строк:

(tf,>«; + iMaM5, + 2),+Д (5;+/Д- + , 0Дя,ч., + y 2>, •> (о,♦ ,Л+ 1)

(в скобках указаны переставляемые строки). Поэтому для полученной после этих перестановок матрицы В верно следующее: \В\ = (-1) ]\А\ - -АА\, что завершает доказательство.

Доказательство утверждения для столбцов проводится аналогично.

Свойство 7.3. Если квадратная матрица имеет хотя бы две одинаковые строки (два одинаковых столбца), то ее определитель равен нулю.

Доказательство. Если в матрице А переставить две одинаковые строки, то новая матрица будет совпадать с А и поэтому с учетом свойства 7.2 \А\ = -\А\, что возможно только при \А\ = 0.

Свойство 7.4. Сумма произведений элементов произвольной <-й строки соответственно на алгебраические дополнения к элементам произвольной другой у-й строки из тех же столбцов равна нулю:

Аналогичное утверждение верно и для столбцов.

Доказательство. Заменим в А у-ю строку /-Й строкой. В полученной матрице В i-я и 7-я строки уже одинаковы, т. е. В \ = 0 по свойству 7.3. Разложим В \ по у-й строке:

Iтребовалось доказать.

Свойство 7.5. Пусть Лх-матрица, полученная при умножении строки (столбца) квадратной матрицы на число X. Тогда \Ак\ = \\А.

Доказательство см. в задаче Т7.1.

0 ... 14 15 16 17 18 19 20 ... 162