Раздел: Документация
0 ... 13 14 15 16 17 18 19 ... 162 рим вторую пару. Предположим, что в N строка нулевая. Тогда в произведении NX i-я строка также будет нулевой, что невозможно, ибо D - NX, а матрица D получена из невырожденной матрицы Е элементарными преобразованиями и потому в силу теоремы 2.3 не может содержать нулевых строк. Теорема доказана. Следствие 6.1. Пусть А и Е~ квадратные матрицы одного порядка.Если матричное уравнение АХ = Е(6.2) имеет решение, то оно единственное. ( Определение J Обратной матрицей для матрицы А называется решение матричного уравнения (6.2). Обратная для А матрица обозначается Ау. Следствие 6.2. Невырожденные матрицы, и только они, имеют обратные. Следствие 6.3. Матрица, обратная для Л-1, есть А, т. е. А Л = А А = £. Следствие 6.4. Пусть А -невырожденная матрица. Тогда единственным решением матричного уравнения (6.1) является А С. Следствие 6.5. Пусть А - невырожденная матрица порядка Тогда для любого вектора-столбца с размерности п система уравнений Ах=с имеет единственное решение А 1 с . Доказательство следствий см. в задачах Т6.1 - Т6.3. Из доказательства теоремы 6.1 вытекает следующее практическое правило проверки матрицы на невырожденность и построения обратной матрицы: с помощью элементарных преобразований строк расширенной матрицы (АЕ) привести "левую половину" к единичной матрице (если в ходе этого процесса образуется хотя бы одна нулевая строка в этой "левой половине", то А вырожденная); тогда на месте первоначально приписанной матрицы £ окажется матрица Задачи для самостоятельного решения Т6.1. Доказать следствие 6.1. Т6.2. Доказать следствие 6.2. Т6.3. Доказать следствия 6.3 - 6.5. Т6.4. Как изменится обратная матрица /Г!, если в данной матрице А: а) переставить мо и k-ю строки; б) /-ю строку умножить на отличное от нуля число л; в) к /-й строке прибавить к-ю строку, умноженную на число Л.? Ответить на этот же вопрос в случае аналогичных преобразований столбцов матрицы А. Т6.5. Пусть А и В - невырожденные матрицы одного порядка. Тогда матрица АВ также невырожденная, причем (А В)-1 =В А . Т6.6. Пусть А - квадратная невырожденная матрица. Тогда (Л )Т=(ЛУ- В задачах П6.1 -П6.21 решить помощью обратной матрицы): систему линейных уравнений матричным методом (с П6.1. П6.3. П6.5. х. + *, = 1, 2х3 = О, -*, + 3*, + х3 = 1. 2*j + 5*2 + 7хз = 2, 6*1 + 3*2 + 4*3 = 5, - 5х, + 2х2+ Зх3 - 7. х, + 2*2 --3*3 = 1, х2 + 2х3 = 2, х, + 4х=; -3 П6.2. 3*1 + 6х2 - 9х, = 3, *2 + 2*, = 6, *, + 4*3 = -9. [Зх, + 6*2 + Зх3 = 3, П6.4. \ 4х,. + Зх2 -2*5 = 6, -5х,-4х2-д:, =3. +=4, \ - + = , + + -6. х, + 2*2+-*з = I, П6.7. -4х,+ зх3 -2х3=2, -Sv 7Ьс„ X, = 1 l2 ~ 3 2xi+x3- Зх3 =2 П6.9. х,- 2х1+х, = 1. х, + *, +.-!*, = -3. П6.11. 2*, + Зх2 + 4*з == 2, • х, + 2*., + Зх, = 3, [4*, + 7х2 + 6х3 = 4. П6.13. \ П6.15. П6.17. -*, -2хг -5*з = -1, 2*, -х*3 = -2, Зх, +*2 + 2х3 = -5. + 2х2 + Зх, = 1, -*2+2*з =2, Зх, + 3. -х, -2*2-*3 = -1, Зх, +7*,= -3. + + = 1 П6.8. + - = 2, 1. *, +2*;, -3xj = 1. П6.10. -Зх, П6.12. П6.14. П6.16. П6.18. 2xj + 5х2 + 7*3 = 2, 2*, + 3*2 + 4*, = 5, 5*, - 2*2 + 3*, = 7. + = 3, 2х =2 + т = Г -J Л*- I t-f-\ Vr, +]0*2 -15*, = 5, =10, х . + 4х,, = 1. + + = 1, - + = 2, Зх, + + = 5. П6.19. + - = 2, х2 + 2*, = 4, х, + = -6. П6.20. -*, -х2 -х, = -1, *, + 2*2 + х, = -3, 2х, + 3*,, +4х, =-3. Глс + 2*2 - 5х3 =8 П6.21. {xf -3*2+3*3 =-5 [х; +*2 +2*з Ответы, указания, решения Т6.1. Указание: утверждение фактически доказано при доказательстве теоремы 6.1. Т6.3. Доказательство следствия 6.3: если применить в обратном порядке последовательность элементарных преобразований а (см. доказательство теоремы 6.1) к строкам матрицы (А £), то получим матрицу (ЕА), откуда следует, что А является обратной для А (см. практическое правило построения обратной матрицы). Доказательство следствия 6.4: А(А1С) = (АА])С - ЕС = С (см. теорему 3.1), откуда решение матричного уравненияПредположим теперь, что имеется еще одна матрица В такая, что АВ = С. Умножим обе части этого равенства слева на матрицу /Г1 (такая матрица существует в силу следствия 6.2): А~\ЛВ) - А СИЛ И (А ,А)В= А 1С или £В=В - А 1С. Следствие 6.5 доказывается аналогично. Т6.4. Ответы: а) в матрице А 1 поменяются местами /-и"и к-w столбцы; б) /-Й столбец в матрицей умножится на 1А; в) из k-го столбца вычтется /-Й столбец, умноженный шЯ. Т6.5. (АВ)(В ]А]) А(ВВА)А АЕА 1 = АА Е, поэтому матрица В Л 1 -обратная для АВ. Это означает также, что АВ - невырожденная (в силу следствия 6.2). Т6.6. Так какАт(Л )т= Ы ЛА)Т = Ег = Е (см. теорему 3.1), то (/Г)тобратная для А\ П6.21. Перепишем систему в матрично-векторном виде: А X = с , где -Я fx,) ( 8 * (\ 2 1 -3 1 1 Согласно следствию 6.5, если матрица А невырожденная, то решением этой системы будет вектор-столбец . Поэтому воспользуемся практическим правилом проверки невырожденности матрицы и построения обратной для нее матрицы (в случае утвердительного ответа), описанным в данной главе:
0 ... 13 14 15 16 17 18 19 ... 162
|
