Раздел: Документация
0 ... 15 16 17 18 19 20 21 ... 162 Теорема 7.2. Определитель матрицы остается неизменным при элементарных преобразованиях строк (столбцов) типа 2. Доказательство. Предположим, что матрица Я получена из матрицы А прибавлением к ;-й строке у-й строки, умноженной на X. Разложим определитель матрицы В по i-й строке. Тогда с учетом Blt = Alk имеем: так ка/*=0 по свойству 7.4. Теорема доказана. Теорема 7.2 подсказывает практический способ вычисления определителя, который состоит в следующем. Если /-я строка (столбец) в матрице А состоит из одного ненулевого элемента а,к, то по теореме 7.1 \А\ = 1) * \ Alk . Тем самым вычисление определителя порядка п сводится к вычислению определителя [Aik порядка п - 1. Хотя в матрице А может не оказаться строк (столбцов) с нужным числом нулей, тем не менее с помощью элементарных преобразований типа 2 А можно преобразовать к нужному виду. При этом величина определителя останется неизменной в силу теоремы 7.2. Следствие 7.1. Квадратная матрица А невырождена, если и только если ее определитель отличен от нуля. Доказательство. Согласно следствию 5.6, с помощью элементарных преобразований строк матрицу А можно привести либо к единичной матрице в случае невырожденности А, либо к матрице, содержащей нулевую строку, в случае вырожденности А. В первом случае \ А \ 0 в силу теоремы 7.2 и свойства 7.5, во втором случае \А\ = Ов силу свойства 7.1. Следствие доказано. ( Определение ) Матрица {да а 11 \2*** I \А,А..... А i \ d ftlran / называется присоединенной для квадратной матрицы А. Следствие 7.2. Если А * 0до ттрица-г-уМУ является обратной для А. Доказательство. Элемент матрицы А(А*У на позиции (/,j) равен £a,t A]t Но при i = j эта сумма равна \i\ (теорема 7.1), а при 1Ф j эта сумма равна нулю (свойство 7.4). Поэтому А(А У- (\а] 0.... О \ о л....о о о.... Iа ОткудаА(-(А )=) Е, ЧТО доказывает следствие. Пример Если А
,{А)Т = \ а" Задачи для самостоятельного решения Т7.1. Доказать свойства 7.1 и 7.5. Т7.2. Вывести следующее правило "треугольника" для вычисления определителя матрицы третьего порядка: Оц «12 «13 а1Х ап а23 31 "32 Т7.3. Доказать, что\А\ = \А"\. Т7.4. Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, находящиеся выше (ниже) главной диагонали, равны нулю. Доказать, что определитель треугольной матрицы равен произведению всех ее элементов на главной диагонали. В частности, Е \ = 1. Т7.5. Пусть даны п+\ функций/,) = а„,х" + а,,,.,*"" + ...+ апх]+ яю, / = 0,1, п. Доказать, что если все они одновременно обращаются в нуль при некотором значении х ~Х, то определитель матрицы F, i-я строка которой совпадает с вектором-строкойравен нулю. ЗЗак.4221 Т7.6. Квадратная матрица А называется кососимметрической, если все ее элементы на главной диагонали равны нулю, а сумма любых двух элементов, симметричных относительно главной диагонали, также равна нулю, т. е. ац, - -а. Доказать, что определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка равен нулю. Т7.7. Пусть все числа с,, с2, с„ различны. Тогда матрицей Вандермонда называется матрица: I с,с[...с\] 1 Доказать, что определитель матрицы Вандермонда равен произведению всех разностей вида ck - сь где 1 < Г < к<, п. Т7.8. Пусть Л-квадратная матрица порядка я. Произведение {-\f ар1и...а1уна-зывается членом определителя, если координаты векторасоставле- ны из номеров столбцов 1,2, п (в произвольном порядке) матрицы А, ар -число всех таких пар координат вектора /-*, в которых большее число расположено в векторе ;- раньше меньшего (такие пары называются инверсиями). Заметим, что член определителя матрицы А состоит из п сомножителей, взятых ровно по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы. Доказать, что сумма всех п\ членов определителя матрицы А порядка п равна \А\. Ответы, указания, решения Т7.1, Указание: для доказательства свойства 7.5 разложить определитель полученной матрицы по строке, которая была умножена на X. Т7.2. Указание: воспользоваться теоремой 7.1 и примером в начале данной главы 7. Т7.3. Докажем индукцией относительно порядка п матриц. Утверждение непосредственно проверяется при п = 1. Предположим, что оно верно для всех квадратных матриц порядка и- 1. Докажем его справедливость для произвольной матрицы А порядка я. Обо- значим в =Ати разложим В \ по первому столбцу: [ В = ark Вк, • Но Вк\ - (А\к )т и, следовательно, по индуктивному предположению \Вк \-\А]к\. Поэтому \B\=fja]t(-\r"\B\) =5Х<-1)- 1 4, =5>„4t Н М к=\1-=[ii=\ Т7.4. Докажем индукцией относительно порядка матриц. Утверждение непосредственно проверяется для треугольных квадратных матриц порядка 2. Предположим, что оно верно для всех квадратных треугольных матриц порядка /7-1. Докажем его 0 ... 15 16 17 18 19 20 21 ... 162
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
